基礎系(逆行列の基本技)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 連立1次方程式 Ax=b が解けるための条件

(2) |A−1|=|A|−1

(2) (A−1=(A−1

注意 ( 転置行列の表記 )

行列 A の転置行列は A または A で表される。

P1 ( 逆行列の基本技〜その1 )

連立1次方程式が解をもつための条件は 「 係数行列が正則であること 」 である。

証明

次のような連立1次方程式を考える。



書き換えると、



明らかに、(*1)と(*2)は同じ意味である。

つまり、連立1次方程式は Ax=b の形で表される。

このような A を 『 係数行列 』 という。

さて、Ax=b が解けるための条件は何であろうか?

それは 「 A が正則であること 」 である。

つまり 「 A が逆行列をもつこと 」 である。

実際、Ax=b の両辺に左から A−1 を掛けてみよう。

すると、x=A−1b である。

つまり、連立1次方程式が解けた。

P2 ( 逆行列の基本技〜その2 )

一般に、正則行列 A に対して|A−1|=|A|−1 である。

証明

よく知られているように、det(AB)=det(A)det(B)である。

つまり、|AB|=|A||B|である。

よって、|AA−1|=|A||A−1|である。(★1)

一方、|AA−1|=|I|=1 である。(★2)

(★1)、(★2)より、|A||A−1|=1 である。

よって、|A−1|=1/|A|である。

P2 ( 逆行列の基本技〜その3 )

一般に、正則行列 A に対して (A−1=(A−1 である。

ゆえに、これを A−T と表すことができる。

証明

よく知られているように、(AB)=B である。

よって、A(A−1=(A−1A)=I=I である。

これは、(A−1 が A の逆行列であることを意味する。

つまり、(A−1=(A−1 である。