基礎系(なぜ行列の積は風変わりなのか?)

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参考

線形代数では行列の積を学ぶ。

行列の積は次のように定義される。



ここで、

「 行列の積の定義は風変わりだなぁ 」

「 なぜこのような定義になっているのだろう? 」

・・・と感じる人も多いであろう。

そこで、このページでは行列の積が上記のように定義される理由を説明する。

参考 ( 説明1〜行列の積とは線形写像の合成である )

A を n 次実行列とする。

を T(x)=Ax で定義する。

明らかに、T は線形変換である。

このとき、T を 『 A によって定まる線形変換 』 という。

ただし、T を A と表すことも多い。

つまり、A: と見なせる。

この視点に立つと、「 n 次行列 」 と 「 上の線形変換 」 は同一視できる。

同一視という概念は特別なものではない。

A を n 次行列とすれば、その背景に自然に線形変換が見出される。

逆に、 から への線形変換が与えられれば、その背景に自然な行列が見出される。(★)

だから、この2つは同じものとして考えてよいということである。

これが 「 同一視できる 」 という言葉の意味である。

(★)に対する補足

φ: を線形変換とする。

{ e、・・・、e } を の自然基底とする。

いま、次のように表せる。



A=(aij)とおく。

x∈K とおく。

いま、x=x+・・・+x と表せる。

また、φ(x)=xφ(e)+・・・+xφ(e)=Ax である。

つまり、φ=A である。

この φ=A で混乱する人がいるかもしれない。

もう少し詳しく言えば、これは φ=T で、T と A を同一視するということである。

例えば、A、B を n 次実行列とする。

むろん、行列の積 BA が定義される。

ここで、A:、B: を見なす。

すると、合成写像 B*A を考えることができる。

そして、B*A: は (B*A)(x)=BAx である。

参考 ( 説明2〜行列の積は漸化式の解法に応用される )

行列の応用として 『 漸化式の解法 』 がある。

例えば、1日ごとに次のような変化が起こると仮定する。

(*1) 活動しているバクテリアのうち、p%が停止する。

(*2) 停止しているバクテリアのうち、q%が活動を再開する。

このとき、(n+1)日後に活動しているバクテリアは次の2通りである。

(**1) n日後に活動していて、(n+1)日後にも活動している。

(**2) n日後に停止していて、(n+1)日後には活動している。

『 n 日後に活動しているバクテリアの数 』 をα とする。

『 n 日後に停止しているバクテリアの数 』 をβ とする。

このとき、(**1)と(**2)のバクテリアの数は、

(***1) (1−p/100)α

(***2) (q/100)β

よって、次が成り立つ。

αn+1=(1−p/100)α+(q/100)β

βn+1=(p/100)α+(1−q/100)β

これらの漸化式は、行列で次のように表される。



このように、漸化式を行列で書き表すことができる。

しかし、ここからが本題。

例えば、「 n 日後に活動しているバクテリアの数 」 を求めたいとする。

まず、次のようにおく。



すると、



よって、A が分かれば、この漸化式の一般解が分かる。

で、A は 『 行列の標準形の理論 』 によって求めることができる。

標準形の理論とは、対角化の理論、ジョルダン標準形の理論などを意味する。

ここではバクテリアで考えたが、同様のことが人間や社会の動きに応用されることは道理である。

また、微分方程式を離散化して漸化式を考えることがある。

これを 『 差分方程式 』 という。

コンピュータで直接に連続性を扱うことができない。

だから、微分方程式を離散化する必要がある。