基礎系(行列式は面積である)

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参考

このページの前提知識は次の通り。

(1) 2次行列

(2) 2次行列の行列式

(3) 線形性

注意

A を2次行列とする。

A の行列式を|A|または detA と表す。

定義 ( 面積 )

次のような平行四辺形を考える。



この平行四辺形の面積を S(a、b) と表す。

さらに、次のようなルールを付ける。

(*1) S(ka、b)=kS(a、b) ( k は実数 )

(*2) S(a+a、b)=S(a、b)+S(a、b)

(*3) S(a、a)=0

(*4) S(a、b)=−S(b、a)

上の定義は少し唐突であろう。

(*1)〜(*3)はよいとしても、(*4)を奇異だと感じる人は多いであろう。

そこで、これらのルールを付ける理由を発見的に説明しよう。

再び、議論を白紙に戻し、最初から説明しよう。

まず、次の平行四辺形を考える。



むろん、a と b は平面ベクトルである。

この平行四辺形の面積を S(a、b) と表す。

まず、次のようなルールを付ける。

(**1) S(ka、b)=kS(a、b) ( k≧0 )

(**2) S(a+a、b)=S(a、b)+S(a、b)

(**3) S(a、b)=0

とくに、(**1)の k は k≧0 となっていることに注意しよう。

上記のルール(**1)〜(**3)を付けることは自然であろう。

そのことを確認してみよう。

まず、(**1)と(**3)が成り立つことは明らかであろう。

また、(**2)が成り立つことは、次の図を見れば分かる。



このように、(**1)〜(**3)は自然であることが分かる。

しかし、実は、矛盾がある。

そのことを確認してみよう。

まず、S(a+(−a)、b)=S(0、b)=0 である。

一方、(**2)より、S(a+(−a)、b)=S(a、b)+S(−a、b)>0 である。

これは矛盾である。

そこで、次のようなルールを追加しよう。

(**4) S(−a、b)=−S(a、b)

すると、S(a+(−a)、b)=S(a、b)+S(−a、b)=0 である。

これで矛盾が解消された。

もしかしたら、

「 そんなことをしてよいのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、このルールでは面積が負にもなるということだ。

これはよく知られている面積の定義と異なる。

しかし、問題はない。

これは、面積の概念を拡張して考えているということである。

意味に気を付ければ、何も不自然なことはない。

人類が初めて 『 負の数 』 を見つけたときも、同じように戸惑ったかもしれない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

さて、これで矛盾はすべて解消されたのだろうか?

いや、まだ矛盾はある。

まず、(**2)、(**3)より、次が成り立つ。(★)



つまり、S(a+b、a+b)=S(a、b)+S(a、b)>0 である。

一方、S(a+b、a+b)=0 である。

これは矛盾である。

そこで、次のルールを追加しよう。

(**5) S(a、b)=−S(b、a)

つまり、a と b を交換すると符合が逆になる。

このような性質を 『 交代性 』 という。

交代性は、幾何学の世界でよく登場する。

このルールにより、S(a+b、a+b)=S(a、b)+S(b、a)=0 である。

よって、矛盾が解消された。

(**1)〜(**5)をまとめると、(*1)〜(*4)が得られる。

P1

次が成り立つ。

(1) S(a、b+b)=S(a、b)+S(a、b

(2) S(a、kb)=kS(a、b)

補足

実は、関係(1)は定義(面積)補足の(★)で使用した。

ただし、そのときは矛盾を示すために使用しただけなので、循環論法ではない。

(1)の証明

定義(面積)の(*2)、(*4)より、

(2)の証明

定義(面積)の(*1)、(*4)より、

P2 ( 行列式は面積である )

次のようにおく。



ここで、a と b を並べて2次行列 (a、b) を作る。

このとき、det(a、b)=S(a、b)である。

つまり、行列式は面積である。

証明

次のようにおく。



明らかに、S(e、e)=1である。

また、次のように表せる。



よって、