基礎系(ボレルの被覆定理は『無限』を『有限』にグレードダウンさせる)

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P1 ( ボレルの被覆定理 )

を閉区間 [a、b] の開区間の被覆とする。

このとき、 に属する有限個の開区間によって [a、b] を被覆できる。

補足

この定理は直観的に明らかである。

ただし、厳密な証明では 『 実数の連続性 』 を用いる必要がある。

ここでは、よく知られている 『 二分法 』 から 『 区間縮小法 』 につなげる方法を用いる。

ちなみに、二分法から区間縮小法につなげる証明は 『 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 』 でも用いられる。

つまり、『 ボレルの被覆定理 』 と 『 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 』 は同様の方法で証明される。

これら2つの定理は、『 無限な対象 』 を 『 有限な対象 』 にグレードダウンさせる強力な定理である。

証明

[a、b] を の有限部分集合族では被覆できないとする。(背理法)

=[a、b] とおく。

を中点で二分すると、I は2つの区間に分かれる。

いま、2つの区間のうち、少なくとも一方は の有限部分集合族では被覆できない。

そこで、その区間を I とする。

同様の手順を繰り返し、閉区間の縮小列 (I) が得られる。

=[a、b] とおく。

いま、a≦a≦・・・≦b≦b である。

また、b−a=(b−a)/2n−1 である。

いま、ある c∈I が存在して、∩1≦n≦∞={c} である。(※区間縮小法)

よって、limn→∞=c、limn→∞=c である。

いま、 は I の開区間被覆である。

よって、ある開区間 (c、d)∈ が存在して、c∈(c、d) となる。

ここで、ε=min{ c−c、d−c } とする。

いま、ε>0 である。

また、ある自然数 N が存在して、n≧N ならば、|a−c|<εかつ|b−c|<εである。

よって、n≧N ⇒ I⊂(c、d) である。

よって、[a、b] を の有限部分集合族で被覆できる。

これは矛盾である。

参考

をユークリッド空間とする。

A を の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) A はコンパクトである。

(2) A は点列コンパクトである。

(3) A は有界閉集合である。

これは 『 ボレルの被覆定理 』 の一般化である。

ボレルの被覆定理は1次元に対するものであったが、この定理は n 次元である。

これの証明は位相空間論のページで扱っている。