基礎系(ヤコビアンは歪みを補正する平行四辺形である)

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参考 ( 変数変換公式 )

D を xy 平面の閉領域とする。

E を uv 平面の閉領域とする。

φ:E→D を全単射な写像とする。

D、E の境界は有限個の点を除いて C 級であるとする。

φ(u、v)=(x(u、v)、v(u、v)) とおく。

ここで、次のように定義する。



この ∂(x、y)/∂(u、v) を 『 (x、y) の (u、v) に関するヤコビアン 』 という。

このとき、次が成り立つ。



これを 『 変数変換公式 』 という。

しかし、なぜ上記のような関係が成り立つのだろうか?

それを理解するための1つの方法は証明を読むことであると言えるだろう。

ただし、変数変換公式の証明は難しい。

そこで、このページでは具体例を通して直観的な理解を目指す。

P1

次のように計算できる。

証明

x+2y=u、x−y=v とおく。

いま、x=(u+3v)/3、y=(u−v)/3 である。

E={ (u、v):|u|≦1、|v|≦1 } とおく。

いま、E と D の点はすべて1対1で対応する。

また、∂(x、y)/∂(u、v)=−1/3 である。

よって、

参考 ( よく考えたら不思議 )

上の計算を視覚的に確認してみよう。

閉領域 D={ (x、y):|x+2y|≦1、|x−y|≦1 } を図示すると、



このまま重積分を計算してもよいが、これは面倒である。

なぜなら、D の境界はつねに(x、y)が変動しているからである。

そこで、x+2y=u、x−y=v とおく。

すると、



この場合、閉領域の境界は u 軸または v 軸に平行である。

つまり、(u、v) のうち、どちらか一方が固定されている。

よって、計算しやすい。

つまり、変数変換公式は有用である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

最初、私たちは D 上の関数 f(x、y) に注目していた。

ここで、(x、y) の背後にパラメータ (u、v) があると考える。

つまり、f(x、y)=f(x(u、v)、y(u、v)) と表示する。



f(x、y) の定義域は D だが、f(x、y)=f(x(u、v)、y(u、v)) の定義域は E である。

よって、考える積分は、



この2つの積分は一般には一致しない。

しかし、よく考えると不思議ではないだろうか?

D と E の点はすべて1対1で対応している。

また、各点上で、f の値は一致する。

例えば、(u、v)平面上の点(1、1)は、(x、y)平面上の点(1、0)に対応している。

いま、(u、v)=(1、1) に対して f(x(u、v)、y(u、v))=1 である。

また、(x、y)=(1、0) に対して f(x、y)=1 である。

各点は1対1で対応しているし、各点上で f は同じ値をとる。

それにも関わらず、積分値は異なる・・・?

この 『 疑問 』 に気付くことさえなく変数変換公式を用いている人は多いかもしれない。

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さて、上記の疑問について簡単に説明しよう。

簡単に言えば、積分値が異なる原因は、定義域の面積が異なることにある。

実際、E の面積は 1 だが、D の面積は 1/2 である。

ただし、単純に積分値が 2 倍になるわけではない。

なぜなら、関数の値も影響するからである。

あるいは、図形が単純な拡大・縮小ではないことに起因する。

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このように、変数変換を行うと、定義域となる図形が歪み、積分値が変化してしまう。

よって、(*)に書いた2つの積分値が異なることは道理である。

ところが、変数変換公式によると、次が成り立つ。



つまり、ヤコビアンは、これらの異なる積分値を調節して等しくしている。

素晴らしい。

しかし、なぜヤコビアンにそのような能力があるのだろう?

この疑問を解決するために、次の定理を考えよう。

P2 ( 行列式は面積である )

ベクトル a、b を2辺とする平行四辺形の面積を S(a、b) と表すことにする。

次のようにおく。



ここで、a と b を並べて2次行列 (a、b) を作る。

このとき、det(a、b)=S(a、b)である。

つまり、行列式は面積である。

証明

次のようにおく。



明らかに、S(e、e)=1である。

また、次のように表せる。



よって、

参考 ( ヤコビアンとは仮想的で微小で連続的に変化する平行四辺形である )

改めて、ヤコビアンの定義を書いておこう。



上式右辺の第1列は、(x、y)の u 方向への増加を意味する。

上式右辺の第2列は、(x、y)の v 方向への増加を意味する。

よって、ヤコビアンは、変数変換によって生じる歪みを表している。

つまり、ヤコビアンは、(u、v)上で単位方形に対応して(x、y)上での平行四辺形を意味する。

これを掛けることで、変数変換によって生じるズレを補正している。

むろん、これは仮想的で微小で連続的に変化する平行四辺形である。

以上の内容を理解すれば、ヤコビアンの定義を忘れることはないであろう。