基礎系(本流、基礎論的、直観、大定理)

サイトのTOP→理系インデックス
基礎系のTOP→基礎系インデックス





参考 ( 本流、基礎論的、直観、大定理 )

理論を体系的に説明するとき、その内容は次のように区分できる。

(1) 本流 : 基本的かつ王道で、汎用性の高い内容

(2) 基礎付け : 理論の土台だが、汎用性が低い内容

(3) 直観的 : イメージなど。

(4) 大定理 : 定理としての結論が非常に重要だが、証明に手間がかかる定理。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

本流としては、例えば、次のようなものがある。

(*) 微分積分学の基本定理、準同型定理、コーシーの積分定理

これらの内容は、結果が重要であるだけでなく、証明それ自体も重要である。

実際、これらの定理の証明には汎用性の高い論法が用いられている。

よって、証明を理解すること自体が他分野への理解につながる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

基礎付けとしては、例えば、次のようなものがある。

(*) 対数関数・指数関数の厳密な構成、三角関数の厳密な構成

むろん、これらは理論としては重要である。

しかし、これらの知識は他分野への理解にはあまり役立たない。

ただし、よくある誤解について注意したい。

『 基礎付け 』 と 『 基礎的な内容 』 は別物である。

例えば、「 三角関数の定理・公式 」 は基礎的な内容である。

これらは高校数学の内容であり、これを知らなければ多くの分野で支障が出るであろう。

このように、基礎的な内容は 『 土台 』 であり、必要不可欠である。

一方、基礎付け 『 地下 』 であり、他分野の理解に影響が出ることは少ない。

あるいは、そういうものを基礎付けと呼ぶのである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

直観的な内容としては、例えば、次のようなものがある。

(*) 「 ヤコビアンは歪みを補正する平行四辺形である 」、「 正則関数は剛直である 」

入門者にとって、これらの言葉は意味不明であるかもしれない。

しかし、これらの内容は、ある程度の知識をもった人にとっては自然に理解できるものである。

例えば、正則関数について簡単に説明しておく。

正則関数とは、複素解析に登場する概念である。

簡単に言えば、正則関数は、複素平面上で任意の方向に対して微分可能な複素関数である。

これにより、正則関数はある意味での 『 剛直性 』 をもつ。

例えば、正則関数の一部を折り曲げようとすると、その折り目は正則関数全体に影響を与える。

これは正則関数の剛直性を意味している。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

大定理としては、例えば、次のようなものがある。

(*) 陰関数定理、逆関数定理、ガウスの定理、ストークスの定理

これらの定理の結果は非常に重要だが、一般化した内容をしっかりと証明することはかなり手間である。

なので、例えば、ガウスの定理などは証明抜きで物理学の本によく登場する。

参考 ( 教科書の構成、サイトの構成 )

教科書は本流に沿って議論する。

そして、基礎付けや直観的な内容を一部解説しながら大定理を目指すことが多い。



これは教科書の役割を考えれば必然的なスタイルと言えるであろう。

それを踏まえた上で、初学者が戸惑う点を指摘したい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

初学者が戸惑う点として、まず、次のようなものがある。

(1) 本流から大定理までの道のりが険しい場合が多く、入門者が消化不良を起こす。

むろん、大定理までの証明は面倒であれば読まなくてもよい。

しかし、入門者にとっては、どれが本流で、どれが大定理に向かう道なのか分からない。

よって、入門者は必要以上に大定理の理解に大きな労力を費やすかもしれない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

他には、次のような点がある。

(2) 入門者は基礎付けを端から読んで消化不良を起こす。

例えば、集合論の教科書には 『 選択公理⇔ツォルンの補題 』 が書かれている。

これの内容を知ることは有用だが、証明を理解することは基礎付けであり、必修とは言い難い。

しかし、入門者にとって、どれが本流で、どれが基礎付けであるかは区別が付かない。

とくに、基礎付けは議論が高度であることが多い。

よって、入門者は必要以上に基礎付けに大きな労力を費やすかもしれない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

また、次のような問題もある。

(3) 教科書は直観的な内容を扱いたくても書く余裕がない。あるいは、書いてはいけない。

実際、直観的な内容を書くと、本流とは別にさらにページ数が増大する。

『 寄道 』 と表現すれば自由な感じがしてよいが、体系的な議論に混ぜると煩雑になる。

大定理を証明しようとするときに議論が脇道に逸れてしまうことは全体を視えづらくする。

加えて、本来、直観的な内容は読者自らが考えるべきだという立場もある。

実際、読者自身が考えてもらうことによって、著者よりも自分に合ったものを描ける可能性もあるはず。

そこに、最初から図やイメージを載せてしまうとどうなるであろうか?

入門者の新しいアイディアが生まれる可能性をつぶしてしまう恐れがある。

教科書に予備情報を載せることによって、そうした各人の独自のアイディアをつぶすべきではない。

よって、教科書に直観的な説明を積極的に載せるべきではない。

そこで、このサイトでは本流を本編で扱い、それ以外の内容を 『 工学系 』 や 『 付録 』 にまとめた。

むろん、本流、基礎付け、直観的、大定理という区別は明確に分かれているわけではない。

本編でも直観的な説明を行うことはある。