基礎系(表現行列をユークリッド平面で説明する)

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 行列から自然に線形写像が定まる。

(2) 線形写像から自然に行列が定まる。

線形写像に対応する行列を 『 表現行列 』 という。

上では 「 自然に 」 という言葉を用いた。

これは数学などでよく用いられる言葉で、言葉通りの意味である。

つまり、「 普通に考えてそうなる 」 ということである。

詳しくは以下の議論によって理解されるであろう。

表現行列は一般のベクトル空間 V と W の線形写像φ:V→W に対して議論できる。

しかし、その議論は少し難しい。

そこで、このページでは V=W= (ユークリッド平面) として議論する。

P1

行列から自然に線形写像が定まる。

証明

A を2次行列とする。

φ を φ(x)=Ax で定める。

いま、φ は線形写像である。

実際、





そこで、この φ を 『 行列 A に付く線形写像 』 という。

P2

線形写像から自然に行列が定まる。

証明

φ: を線形写像とする。

{ e、e } を の自然基底とする。

つまり、



いま、φ(e)やφ(e)は の点である。

よって、次のように表せる。





ここで、A=(aij) とおく。

すると、φは A に付く線形写像である。

実際、