基礎系(陰関数定理と逆関数定理)

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参考

陰関数定理と逆関数定理は解析学において重要である。

しかし、その証明は少し長く、初学者が全容を把握することはなかなか難しい。

また、初学者が最初からこれらの証明を理解することは必須ではない。

まずは定理の意味が把握できれば十分であろう。

このページでは、定理の意味を説明することに重点を置く。

参考

陰関数定理を応用して逆関数定理を示すことができる。

逆関数定理を応用して陰関数定理を示すことができる。

つまり、初めにどちらか一方を直接的に示す必要がある。

どちらを先に証明するかということは書物によって異なる。

定義 ( ヤコビ行列〜その1 )

U を の開集合とする。

f:U→ を C級関数とする。

次のように定義する。



このとき、∂f/∂x を 『 f のヤコビ行列 』 という。

また、det(J(f))を 『 f のヤコビ行列式 』 という。

また、a∈U に対し、次のように表す。(★)

(★)について補足

むろん、∂f/∂x は関数である。

つまり、∂f/∂x:U→M(n、n)と見なせる。

( ただし、M(n、n)は n×n 行列全体である )

定義 ( ヤコビ行列〜その2 )

Ω を × の開集合とする。

f:Ω→ を C級関数とする。

f(x、y)=f(x、・・・、x、y、・・・、y)と見なす。

次のように定義する。



∂f/∂x を 『 x に関する f のヤコビ行列 』 という。

∂f/∂y を 『 y に関する f のヤコビ行列 』 という。

むろん、∂f/∂x は関数である。

つまり、∂f/∂x:U→M(m、n)と見なせる。

( ただし、M(m、n)は m×n 行列全体である )

参考

Ω を × の開集合とする。

ある開集合 U⊂、V⊂ が存在して、Ω=U×V と表せるとする。

f:Ω→ を C級関数とする。

f(x、y)=f(x、・・・、x、y、・・・、y)と見なす。

f|U:U→ を f の制限とする。

ここで、次の(1)、(2)を考える。

(1) J(f|U)

(2) ∂f/∂x

このとき、(1)と(2)は同じものであろうか?

それとも異なるものであろうか?

異なるとすれば何が異なるのであろうか?

この辺りを整理しておくと理解が深まってよいかもしれない。

解答はすぐ下に書くが、まずは自ら考えてみるとよいだろう。

さて、解答である。

J(f|U)は U から M(m、n) への関数である。

∂f/∂x はΩから M(m、n) への関数である。

ただし、J(f|U)をΩから M(m、n) への関数と見なすこともできる。

参考 ( 陰関数定理 )

Ω を × の領域とする。

ある領域 U⊂、V⊂ が存在して、Ω=U×V と表せるとする。

f:Ω→ を C級関数とする。

ある点(x、y)∈U×V が存在して、次を満たすとする。

(1) f(x、y)=c

(2) detJ(f|V)≠0

このとき、x の開近傍 W と、C級関数φ:W→ が存在して、次を満たす。

(3) 任意の x∈W に対し、f(x、φ(x))=c である。

(4) φ(W)⊂U

(5) (Jφ)=−J(f|V)−1J(f|U)

( このφを 『 f=c が定める陰関数 』 という )

補足

一見すると、定理の主張は複雑に視えるかもしれない。

しかし、よく読んでみれば定理の主張は非常にシンプルである。

要は、

「 f(x、y)=c という条件を考えたときに、x の関数として表すことができるか?」

・・・という素朴な問題を考えているのである。

この意味で、最も本質的なのは(3)である。

また、ある点(x、y)で f(x、y)=c となっていなければ、この問題は意味をなさない。

よって、仮定(1)は当たり前である。

仮定(2)は次のように書き換えられる。

(2)’ J(f|V) は正則行列である。

もう少し言えば、rank=n ということである。

同様のことは幾何学(曲線論、曲面論)の色々な場面でよく登場する。

補足

A=J(f|U)、B=J(f|V) とおく。

A は n×m 行列であり、B は n×n 行列である。

また、(Jf)(x、y=[A、B]である。

( ここで [A、B] は、行列A、Bの成分を書き並べた n×(m+n)行列である )

証明

省略する。

参考 ( 逆関数定理 )

U を の領域とする。

f:U→ を C級写像とする。

p∈U とおく。

q=f(p)とおく。

det(Jf)≠0 であるとする。(★)

このとき、p の開近傍 U、f(p)の開近傍 V が存在して次を満たす。

(1) f は U から V への全単射である。

(2) f−1:V→U は C級写像である。

補足

(1)と(2)をまとめて、「 f は C 級微分同相写像である 」 ということもできる。

(★)について補足

f が線形写像ならば、仮定(★)は f が同型写像であることを意味する。

とくに、多様体論では接空間から接空間への線形写像を考える場面がある。

証明

省略する。