基礎系(陰関数定理→ラグランジュの乗数法)

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参考 ( 円の陰関数 )

f(x、y)=x+y−1=0 とおく。

これを図示すると、



いま、f(x、y)=0 を x の関数として表すことはできない。

実際、例えば、(1、0) の近くでは x に対して y の値が一意に定まらない。

ただし、(0、1) の近くでは f(x、y)=0 を x の関数として表すことができる。

実際、(0、1) の近くでは y>0 である。

よって、y=√(1−x) と一意に解くことができる。

これは円の陰関数である。( 陰関数について詳しくは後で述べる )

さて、陰関数の存在の有無を定式化するにはどうすればよいだろう?

そのためには f に注目すればよい。

点(1、0) では f(1、0)=0 である。

点(0、1) では f(1、0)≠0 である。

つまり、f(a、b)≠0 となる点 (a、b) の近傍では f(x、y) を x の関数として表すことができる。

ただし、上記の内容は平面上の円(あるいは曲線)に対する議論である。

以下、これを2変数関数に一般化する。

P1 ( 陰関数定理〜2変数ver )

D を を開集合とする。

f:D→ を C 級関数とする。

f(a、b)=0 かつ f(a、b)≠0 であるとする。

このとき、点 (a、b) の近傍で、y を x に一意に解くことができる。

つまり、x=a の近傍で、ある C 級関数 y=φ(x) が存在して、f(x、φ(x))=0 かつ φ(a)=b となる。

この φ(x) を 『 f(x、y)=0 に付く陰関数 』 という。

さらに、φ’(x)=−f(x、y)/f(x、y) が成り立つ。

補足

(a、b)≠0 の代わりに f(a、b)≠0 を仮定した場合も同様に議論できる。

つまり、ある関数 x=ψ(y) が存在して、f(ψ(y)、y)=0 かつ ψ(b)=a となる。

また、ψ’(y)=−f(x、y)/f(x、y) が成り立つ。

証明 ( 概略ver )

いま、f(x、y)=f(a、b)+f(a、b)(x−a)+f(a、b)(y−b)+(2次の項) と表せる。(※テイラー展開)

いま、f(x、y)=0、f(a、b)=0 である。

よって、f(a、b)(x−a)+f(a、b)(y−b)≒0 である。

いま、f(a、b)≠0 である。

よって、



よって、



とくに、(x、y)=(a、b) のとき、誤差は 0 になる。

つまり、φ(a)=b である。

さらに、f(x、φ(x))=0 の両辺を x で微分すると、f(x、y)+f(x、y)φ’(x) である。

よって、φ’(x)=−f(x、y)/f(x、y) である。

補足

陰関数定理の本質は、2変数関数がテイラー展開によって1次式で近似できることによる。

このことは上の証明から分かるであろう。

図示すると、

P2 ( ラグランジュの乗数法 )

f(x、y)、φ(x、y) を C 級2変数関数とする。

点 (a、b) において φ(a、b)≠0 または φ(a、b)≠0 であるとする。

条件 φ(x、y)=0 の下で、f(x、y) は点 (a、b) で極値をとるとする。

このとき、ある定数 λ が存在して、次の連立1次方程式を満たす。

証明

φ(a、b)≠0 の場合について示す。( φ(a、b)≠0 の場合も同様に示せる )

いま、φ(a、b)=0 である。

よって、x=a の近傍で陰関数 y=g(x) が存在して、b=g(a) となる。(※P1:陰関数定理)

また、g’(a)=−φ(a、b)/φ(a、b) である。(★)

いま、点 (a、b) は f(x、y) の極値である。

つまり、1変数関数 f(x、g(x)) は x=a で極値をとる。

よって、f(a、b)+f(a、b)g’(a)=0 である。(※合成関数の微分)

(★)を代入して、λ=f(a、b)/φ(a、b) とおくと、