基礎系(πの存在証明)

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参考 ( コッホ曲線で固定観念から脱出しよう )

πを定義する方法は次の2通りである。

(*1) 円周を用いて定義する。

(*2) 円の面積を用いて定義する。

よく知られているように、半径1の円周は2πである。

逆に言えば、円周を求めることができれば、ここからπを定義できる。

これが(*1)の方法である。

同様に、(*2)の方法で定義できる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、(*1)について考えよう。

つまり、円周を求めたい。

どうすればよいだろう?

やり方は、積分と同じように、上限・下限で挟み込む方法がよいだろう。

そのためには、とにかく、下界・上界を見つけなければならない。

一般に、曲線の下界は簡単に見つかる。

実際、曲線上に分点をとり、それらを線分でつなげばよい。

むろん、円周についても同様のことができる。

実際、円周に分点を追加して、これを線分でつなげば、その長さが下界となる。

少し見方を変えれば、これは円に内接する多角形を考え、その周を下界として採用したのである。

このように、円周の下界を見つけることは簡単である。

しかし、円周の上界を見つけることは困難である。

このとき、

「 円に外接する多角形を考えればよいのでは?」

・・・と考える人がいるかもしれない。

あるいは、

「 そもそも、内接する n 角形を n→∞ とすれば、円周になるだろう 」

・・・と考えるかもしれない。

いま、円に内接する5角形を考えよう。

ここで、円周に分点を追加し、6角形を作る。

いま、「 内接5角の周の長さ 」 < 「 6角形の周の長さ 」 である。(★)



これを繰り返せば、円周に収束するように思える。

しかし、これは早計である。

現時点では、(★)の極限が有限であるという保証はどこにもない。

「 いやいや、納得できないぞ 」

・・・という人がいるかもしれない。

その人は次のように考えるのであろう。

まず、内接多角形の一部として下図のような図形を考えよう。



『 線分 AB の長さ 』 は 『 弧 AB の長さ 』 よりも小さいように思える。

だから、5角形→6角形→・・・という列を考えても、その周は円周を超えないように思える。

しかし、この考え方は循環論法である。

まだ円周を定義していないのに、円周という言葉を用いているからである。

それでも、まだ納得しない人は多くいるであろう。

例えば、

「 円周という言葉を用いなくても、とにかく、弧 AB には 『 長さ 』 があって、それが上限になるだろう 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、弧 AB の 『 長さ 』 というものはまだ定義していない。

この辺りは 『 直観 』 と 『 論理 』 が混ざってしまって、非常に誤解されやすい。

「 円周や円弧が有限であることは明らかである 」 という強力な固定観念が理解を阻むのである。

そこで、この固定観念から脱出するために、次のような図形を考えてみよう。



このような図形を 『 コッホ雪片 』 という。

また、操作を無限に繰り返して得られる図形を 『 コッホ曲線 』 という。

明らかに、1回の操作で線分の長さは 4/3 倍になる。

よって、この操作を無限に繰り返して得られる図形の長さは無限大である。

つまり、コッホ曲線は無限である。

ところが、コッホ曲線は、見た目には有限の長さに視える。

( ちなみに、明らかに、コッホ曲線に囲まれた図形の面積は有限である )

( つまり、面積は有限だが、周の長さが無限である )

( ちなみに、コッホ曲線は、フラクタルと呼ばれる分野の代表例である )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

さて、話を元に戻そう。

5角形→6角形→・・・としたとき、これが収束する保証がどこにあるだろう?

コッホ曲線が発散するのに、直観だけでこの極限が有限であると判断することは早計であろう。

では、どうすればよいのか?

この問題は 『 線積分 』 という概念を定義することで解決できる。

これが(*1)の方法である。

けれども、もう少し初等的にπを定義できないものだろうか?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

そこで、(*2)の方法を考えよう。

つまり、円の面積を用いてπを定義したい。

円の面積の下界と上界は簡単に見つかる。

円に内接する多角形の面積が下界である。

円に外接する多角形の面積が上界である。

さらに、次が成り立つ。

(*) 内接5角形の面積<内接6角形の面積<・・・<外接6角形の面積<外接5角形の面積

図示すると、



よって、実数の連続性(区間縮小法)より、ある値に収束する。

そこで、このページではこれを厳密に示そう。

参考 ( 線積分によるπの定義 )

既に述べたように、このページでは線積分を用いずにπを定義することが目的である。

しかし、ここに、線積分を用いた定義を書いておこう。

まず、次の定理が知られている。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f(x) を区間 [a、b] 上の C 級関数とする。

G(f)={ (f、f(t))|a≦t≦b } を f のグラフとする。( むろん、これは曲線である )

このとき、G(f) の長さは次のように表される。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上記の結果は線積分の応用によって得られる。

この定理を認めて、πを定義してみよう。

まず、単位円 x+y=1 を考える。

式変形すると、y=√(1−x) である。

0≦x≦1/√2 の範囲で y=√(1−x) によって定められる円弧の長さを L とする。

このとき、8L は単位円周となる。

よって、8L=2πと定義すれば、このπはよく知られた円周率を意味する。

実際に、L を式で表すと、



よって、πは次のように定義される。

このように、線積分の結果を用いると、πは簡単に定義できる。

また、線積分の議論は初歩的な微分積分の書物にも載っている。

しかし、そこでの議論は簡略化されていることが多い。

実は、線積分を真剣に議論すると、割と奥が深い。

なので、線積分を用いずにπの定義を考えることには意味がある。

これがこのページの目的である。

P1

0<θ<π/2 とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

下図を考える。



扇形 AOB の面は θ/2 である。

△COA の面積は (tanθ)/2 である。

△OAB の面積は 1・(sinθ)/2 である。

よって、(sinθ)/2<θ/2<(tanθ)/2 である。

よって、cosθ<(sinθ)/θ<1である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

参考

実は、上記の定理も、やや直観的な証明である。

しかし、三角関数の構成を厳密に構成すると、さらに話が長くなってしまう。

なので、ここでは許容する。

三角関数の厳密な構成は別のページで扱っているので、そちらを参照。

注意 ( p、P

半径1の円に内接正 n 角形の周の長さを p と表す。

半径1の円に外接正 n 角形の周の長さを P と表す。

以下、p と P はこの意味で用いる。

P2

次が成り立つ。

(1)の証明

明らかに、外接正 n 角形の面積は P/2 である。

また、P/2<4 である。

よって、P<8 である。

これは任意の n について成り立つ。

つまり、P4n<8 である。

一方、p<p4n<P4n は明らかである。

(2)の証明

下図のように、内接正 n 角形の一部を考える。



中心 O から辺 AB に垂線を下ろすと、内接正 n 角形の辺 AD と DB を得る。



OA と OB を延長し、D の接線との交点を A’、B’ とする。

すると、A’B’は外接正 n 角形の辺である。



いま、△AOC と △A’OD は相似である。

よって、AC/A’D=OC/OD=OC である。

いま、AC/A’D=p/P である。

よって、OC=p/P である。

よって、三平方の定理より、



よって、目的の式が得られる。

(3)の証明

明らかに、p=2nsin(π/2)である。

f(θ)=(sinθ)/θ とおく。

微分すると、f’(θ)=(θcosθ−sinθ)/θ である。

よって、0<θ<π/2 において f’(θ)<0 である。(※P1)

よって、0<θ<π/2 において f は単調減少である。

m<n ならば π/m>π/n である。

よって、



よって、



よって、p<p である。

P3 ( πは存在する )

<n<・・・を増大していく自然数の列とする。

このとき、limk→∞ は一意に定まる。

そこで、これを 2π と表す。

このπを 『 円周率 』 という。

証明

Z4 より、



よって、



外接正 n 角形の面積は P/2 である。

内接正 6 角形の面積は (3√3)/2 である。

よって、(3√3)/2<P/2 である。

よって、P>3√3 である。

よって、



両辺を2乗して変形すると、



よって、



よって、



よって、n≧18 ⇒ p>5 である。

よって、Z2(1)より、



よって、(*)より、



よって、limn→∞(P−p)=0 である。(★1)

<n<・・・を増大する自然数の列とする。

いま、p<p<p<・・・<8 である。(※P2)

よって、limk→∞・・・n が存在する。(※実数の連続性)

つまり、ある実数αが存在して、limk→∞・・・n=αとなる。

一方、limk→∞ が収束することも分かる。(※P2)

いま、p<p・・・n<P・・・n<P である。

また、(★1)より、limn→∞(P−p)=0 である。(★2)

よって、limk→∞・・・n=limk→∞・・・n=αである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、p の部分列 pρ(k) が存在して、任意の k に対して n・・・n<nρ(k) である。(★3)

いま、pρ(k) は p の部分列であるから、limk→∞=limk→∞ρ(k) である。

よって、limk→∞=limk→∞・・・n=αである。(★4)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

増加自然数列 n は自由にとることができる。

ここで、他の増大自然数列 m をとる。

(★3)と同様に、n<m<nρ(k) となるようにできる。

よって、limk→∞=limk→∞ である。

つまり、極限は一意である。

P4

次が成り立つ。

証明

積分の定義より、



一方、x=sinθとおくと、

P5 ( 円の面積 )

半径 r の円の面積は、πr/2 である。

証明

+y≦r について y≧0 の部分を考える。

h=r/n とおく。

y=kh (k=1、・・・、n) によって、半円板を分割する。

半円板の kh≦y≦(k+1)h の部分を D と表す。

y=kh と x+y=r との交点は、(−(r−k1/2、kh)、((r−k1/2、kh)である。

ここで、次のような長方形 E、F を考える。



いま、D は E に含まれる。

また、D は F を含む。

m(r)を半円板の面積とする。

いま、



h=r/n なので、



さらに整理すると、



一方、



よって、



よって、



よって、Z4より、

参考

球の体積は、回転体を計算すればよいだけ。

球の表面積は、少し面倒で、曲面論などを用いる必要がある。