基礎系(近似できるとはどういうことか?)

サイトのTOP→理系インデックス
基礎系のTOP→基礎系インデックス





参考

工学や物理学などの本を開いてみると 『 近似 』 という言葉がよく登場する。

例えば、電磁気学の本では 『 線積分 』 や 『 曲面積 』 が登場する。

その解説には 『 近似 』 という言葉がよく用いられる。

しかし、冷静に考えてみると、「 値を近似できる 」 とはどういうことであろうか?

「 誤差項を無視する 」 ということだから・・・やはり、真の値とは異なるのだろうか?

真の値と異なるものをそのまま理論に組み込んでよいのか?

『 近似して無視してよい誤差 』 と 『 無視してはいけない差 』 の違いは何であろうか?

実は、これらを理解していない人は多いのでは?

そこで、このページでは1次近似について直観と論理の両面から解説する。

これは積分論の理解へとつながる概念である。

P1 ( 微分とは1次化である )

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

x∈I とおく。

このとき、次は同値である。

(1) f は x で微分可能である。

(2) ある定数 c が存在して、f(x+h)−f(x)=ch+o(h) となる。

とくに、(2) の c は c=f’(x) である。

補足

ただし、o(h) は o(h)/h→0 ( h→0 ) を満たす関数である。

o は 『 ランダウの記号 』 と呼ばれる。

o(h)は 『 誤差項 』 と呼ばれることがある。

この記号は慣用的にこの意味で用いられる。

補足

つまり、h を十分に小さくとれば、f(x+h)−f(x) は ch で近似できるということである。

ここでいう 「 近似 」 とは、次の意味である。

(*1) h を小さくすれば、f(x+h)−f(x) と ch の誤差をいくらでも小さくできる。

言い換えれば、誤差項 o(h) は無視できるということである。

これは地味だが、重要な事実である。

初等的な教科書や物理の教科書では、単に 「 近似できる 」 とか、「無視できる」 と書かれることが多い。

これによって理解が曖昧になっている学生は多いと思われる。

「 近似できる・無視できる 」 というのは、「 誤差が小さいから切り捨てられる 」 という意味ではないのだ。

値が 1/100 とか、1/1000 とか、有効数字とか、そういう意味で切っているのではない。

上に書いたように、(*1)の意味で近似できる・無視できるということである。

さらに正確に(*1)を言うと、次のようになる。

(*2) h を小さくすれば、hが小さくなるよりも速く f(x+h)−f(x) と ch の誤差を小さくできる。

図示すると、



一方、下図のようなものは近似になっていない。

証明

(1)を仮定する。

ε(h)=f(x+h)−f(x)−chとおく。

いま、ε(h)/h→0 ( h→0 ) である。

よって、ε(h) を o(h) としてよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

次のように定義する。



いま、g は h=0 において連続である。

また、



上式の両辺について h→0 とすると、f’(x)=c である。

P2 ( 微分可能⇒連続 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は点 x∈D で微分可能であるとする。

このとき、f は x で連続である。

補足

つまり、f が D 上で微分可能ならば、f は D 上で連続である。

証明

いま、f(x+h)=f(x)+f’(x)h+o(|h|)である。(※P1)

よって、f(x+h)→f(x) ( h→0 ) である。

つまり、f は x において連続である。

参考

上の定理の証明は非常に重要である。

別の視点から、直観的な説明も書いておく。

まず、既に述べたように、微分可能性は1次関数で近似できることを意味する。

つまり、点 x∈D に近づくと、それよりも速く関数 f と1次関数 L の誤差が小さくなる。

また、1次関数は連続である。

よって、δ>0 を十分小とすれば、入力±δに対して L の誤差をいくらでも小さくできる。

つまり、δ>0 を十分小とすれば、入力±δに対して f の誤差をいくらでも小さくできる。

つまり、f は連続である。

以上により、微分可能⇒連続が分かる。