基礎系(基底変換行列とは?)

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参考

線形代数では 『 基底変換行列 』 が登場する。

これは幾何学や物理学などの分野で重要である。

線形代数では一般のベクトル空間に議論することが多い。

なので、基底変換行列を難しい概念であると考えてしまう人がいるかもしれない。

しかし、基底変換行列の基本的な発想は、高校数学の中に簡単に見出すことができる。

このページでは基底変換行列を発見的に示すことにする。

定義 ( 自然な単位 )

e=1とおく。

このとき、e を 『 自然な単位 』 と呼ぶことにする。

例えば、12 という量を考えよう。

これを、単位 e=1 で表すと 12=12・1 である。

では、他の単位で表すとどうなるであろうか?

例えば、単位として e’=2 を採用すると、12=6・2 である。

つまり、12=12e=6e’である。

このように、一般に、量 X を X=xe=x’e’で表すことができる。

このとき、x は 『 e に関する X の座標 』 である。

また、x’は 『 e’に関する X の座標 』 である。

では、座標と単位の関係はどのようになっているのだろうか?

以下、これを調べることにしよう。

定義 ( 基底変換 )

e’を単位とする。

e’を e で表したものを e’=pe とする。

このとき、p を 『 e から e’への基底変換 』 という。

P1

p を e から e’への基底変換とする。

ある量 X を e と e’で表して X=xe=x’e’とする。

このとき、x=px’である。

証明

いま、e’=pe である。(※定義:基底変換)

よって、xe=x’e’=x’(pe)=(px’)e である。

よって、x=px’である。

P2

p を e から e’への基底変換とする。

y=ax を1次関数とする。

y’=a’x’を、y=ax を e’で表した1次関数とする。

このとき、a’=p−1ap である。

補足

上では p−1ap と書いた。

しかし、数の世界では可換則が成り立つので、p−1ap =a と計算してよい。

結局、a’=a である。

証明

いま、x=px’であり、y=py’である。(※P1)

これを y=ax に代入する。

すると、py’=apx’である。

よって、y’=p−1ap x’である。

よって、a’=p−1ap である。

定義 ( 自然な基底 )

次のように定義する。



このとき、e、e、e を 『 の自然な基底 』 という。

定義 ( 基底変換行列 )

{ e、e、e } を の自然な基底とする。

{ e’、e’、e’} を の基底とする。

いま、次のように表せる。



これは形式的に次のように表せる。



P=(pij)とおけば、(e’、e’、e’)=(e、e、e)P である。

このとき、P を 『 { e、e、e } から { e’、e’、e’ } への基底変換行列 』 という。

P3 ( P1の一般化 )

P を { e、e、e } から { e’、e’、e’}への基底変換行列とする。

ある量 X を各基底で表して X=x+x+x=x’e’+x’e’+x’e’とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)と(2)では、ある意味で変換の順番が逆になっていることに注意。

補足

(1)を 『 基底変換公式 』 という。

(2)を 『 座標変換公式 』 という。

(1)の証明

既に示した。(※定義:基底変換行列)

(2)の証明

いま、次のように表せる。(※定義:基底変換行列)



よって、



よって、



これを行列で表すと、

P4

基底変換行列は正則である。

証明

ある量 X を X=x+x+x=x’e’+x’e’+x’e’とする。

P を { e、e、e } から { e’、e’、e’}への基底変換行列とする。

Q を { e’、e’、e’} から { e、e、e }への基底変換行列とする。

いま、x=Px’であり、x’=Qx である。(※P3)

よって、x=Px’=PQx である。

よって、PQ は単位行列である。

つまり、Q は P の逆行列である。

P5 ( P2の一般化 )

P を { e、e、e } から { e’、e’、e’}への基底変換行列とする。

A を3次行列とする。

y=Ax を A が定める線形変換とする。

y’=Ax’を、y=Ax を { e’、e’、e’} で表した線形変換とする。

このとき、A’=P−1AP である。

証明

いま、x=Px’であり、y=Py’である。(※P4)

これを y=Ax に代入する。

すると、Py’=APx’である。

よって、上式の左から P−1 を作用させると、y’=P−1AP’である。(※P5)

よって、A’=P−1AP’である。

参考 ( 具体例 )

V={ (x、x、x)∈|x+x+x=0 } とおく。

いま、V は 2 次元ベクトル空間である。

例えば、V の基底として次のようなものを採用できる。



P を E から F への基底変換行列とする。

つまり、



これを解くと、