基礎系(極値の判定、ヘッセ行列〜二変数ver)

サイトのTOP→理系インデックス
基礎系のTOP→基礎系インデックス





定義 ( 極大 )

f(x、y) を2変数実数値関数とする。

点(a、b)の近くの任意の点(x、y) に対し、f(a、b)>f(x、y) であるとする。

このとき、f(a、b) を 『 極大値 』 という。

極大値と同様に 『 極小値 』 が定義される。

極大値と極小値を総称して 『 極値 』 という。

P1

f(x、y) を2変数実数値関数とする。

f は点 (a、b) で極値をとるとする。

このとき、f(x、y)=f(a、b)=0 である。

証明

明らかである。

参考

P1 の逆が成り立つとは限らない。

つまり、f(a、b)=f(a、b)=0 であっても、(a、b) が f の極値になるとは限らない。

代表的な例として f(x、y)=x−y がある。

いま、f=2x、f=−2y である。

よって、f(0、0)=0、f(0、0)=0 である。

しかし、点 (0、0) は f の極値ではない。

このことは直観的・論理的に簡単に確認できる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、直観的に確認してみよう。

明らかに、f(x、y)=x−y を図示すると、次のようになる。



つまり、f(x、y) は鞍型である。

明らかに、(0、0) は極大値ではないし、極小値でもない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、論理的に確認してみよう。

いま、f(x、y)=x−y である。

よって、(0、0) 以外の点に対して次が成り立つ。

(*1) |x|>|y| ⇒ f(x、y)>f(0、0)=0

(*2) |x|<|y| ⇒ f(x、y)<f(0、0)=0

よって、f(x、y) は点 (0、0) において極大でもなく、極小でもない。

以上で示したように、f(a、b)=f(a、b)=0 であっても、(a、b) が f の極値になるとは限らない。

すると、「 他にどのような条件があれば極値となるのだろうか? 」 という自然な疑問が出る。

次の定理はこの疑問に対して1つの答えを与える。

P2 ( ヘッセ行列による極大・極小の判定 )

f(x、y) を C 級2変数実数値関数とする。

(a、b)=f(a、b)=0 であるとする。

D=fxx(a、b)fyy(a、b)−(fxy(a、b)) とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) D>0 かつ fxx(a、b)>0 ならば、f(x、y) は点 (a、b) において極小である。

(2) D>0 かつ fxx(a、b)<0 ならば、f(x、y) は点 (a、b) において極大である。

(3) D<0 ならば、f は点 (a、b) において極値をとらない。

補足

D=0 の場合、上記の定理では判定できない。

補足

次のようにおく。



このとき、H を 『 ヘッセ行列 』 という。

いま、f は C 級なので、fxy=fyx である。

よって、H は対称行列である。

また、定理の D は H の行列式である。

つまり、D=detH と表せる。

今回は2変数関数について議論しているのでヘッセ行列の有用性は伝わりづらいかもしれない。

しかし、n変数関数の議論ではヘッセ行列は有用である。

証明

いま、ある 0<θ<1 が存在して、次のように表せる。(※テイラー展開)



いま、f(a、b)=f(a、b)=0 である。

また、fxx、fxy、fyy は連続である。

よって、|h|と|k|が十分小であるとすると、次の近似が成り立つ。



ここで、A=fxx(a、b)、B=fxy(a、b)、C=fyy(a、b) とおく。

すると、



いま、

(*1) 「 任意の h、k に対して Ah+2Bhk+Ck>0 」 ⇒ f(a+h、b+k)>f(a、b)

(*2) 「 任意の h、k に対して Ah+2Bhk+Ck<0 」 ⇒ f(a+h、b+k)<f(a、b)

つまり、

(**1) 「 任意の h、k に対して Ah+2Bhk+Ck>0 」 ⇒ f (a、b)で極小である。

(**2) 「 任意の h、k に対して Ah+2Bhk+Ck<0 」 ⇒ f (a、b)で極大である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A≠0 の場合、次のように変形できる。



以下、このことに注意して証明を続ける。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

AC−B>0 の場合について考える。

いま、0≦B<AC であるから、A≠0 である。

また、(*)の括弧内の符合は (h、k)≠(0、0) に対してつねに正である。

よって、

(*3) A>0 ⇒ Ah+2Bhk+Ck>0

(*4) A<0 ⇒ Ah+2Bhk+Ck<0

よって、(**1)、(**2)より、

(**3) A>0 ⇒ f は (a、b) で極小

(**4) A<0 ⇒ f は (a、b) で極大

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

AC−B<0 の場合について考える。

いま、A≠0 または A=0 である。

まず、A≠0 の場合について考える。

いま、(*)の括弧内は h と k の値によって正と負の値をとる。

つまり、f は (a、b) で極値をとらない。

次に、A=0 の場合について考える。

いま、B>0 より、B≠0 である。

よって、Ah+2Bhk+Ck=2Bhk+Ck は h と k の値によって正と負の値をとる。

つまり、f は (a、b) で極値をとらない。