基礎系(極値の判定、ヘッセ行列〜多変数ver)

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定義 ( 極大値 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

a=(a、・・・、a)∈D とおく。

ある ε>0 が存在して、次が成り立つとする。

(*) 任意の x∈S(a、ε) に対し、f(a)>f(x) である。

このとき、a を 『 極大値 』 という。

同様に、極小値が定義される。

極大値と極小値を総称して 『 極値 』 という。

P1

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

f は点 a∈D において極値をとるとする。

このとき、任意の k∈{ 1、・・・、n } に対し、f(a)=0 である。

証明

明らかである。

定義 ( 正定値対称行列 )

A=(aij) を n 次対称行列とする。

次のようにおく。



任意の k∈{ 1、・・・、n } に対して detA>0 であるとき、「 A は正定値である 」 という。

任意の k∈{ 1、・・・、n } に対して (−1)detA>0 であるとき、「 A は負定値である 」 という。

定義 ( 2次形式 )

A=(aij) を行列とする。

次のように定める。



これは次のように表せる。



この関数を 『 2次形式 』 という。

P2 ( 2次形式の正定値の判定 )

A を対称行列とする。

f(x)=xAx を ( n 変数の ) 2次形式とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A が正定値 ⇒ 「 任意の点 x (≠0) に対してf(x)>0 」

(2) A が負定値 ⇒ 「 任意の点 x (≠0) に対してf(x)<0 」

補足

ちなみに、(1)や(2)の逆も成り立つ。

(1)の証明

n=1 の場合、定理は明らかに成り立つ。

n−1 の場合について定理が成り立つとする。

つまり、f(x)=(x)An−1>0 である。

ただし、x(x、・・・、xn−1) である。

また、



いま、detAn−1>0 である。

よって、An−1 は正則行列である。

つまり、An−1−1 が存在する。

ここで、次のようにおく。



いま、detT=1 である。( ちなみに、記号 T は、これが三角行列であることを印象付けている )

また、



=ann(x)An−1−1 とおく。

次のようにおく。



いま、A=TBT である。

また、detA>0、detAn−1>0 である。(※定理の仮定)

また、detA=det(T)detBdetT=detB=(detAn−1)b である。

よって、b>0 である。

x≠0 とする。

いま、y=Tx に対し、(x)=(y、・・・、yn−1)≠0 または y≠0 である。(※ T は正則 )

また、(y)An−1≧0 かつ b≧0 である。(※帰納法の仮定)

また、これらが同時に 0 になることはない。

よって、f(x)=xAx=x(TBT)x=yBy=(y)An−1+b>0 である。

(2)の証明

(1)と同様である。

定義 ( ヘッセ行列 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

p∈D とおく。

次のように定義する。



このとき、H(p) を 『 f の点 p でのヘッセ行列 』 という。

P3

D を の開集合とする。

f:D→ を C 級関数とする。

p∈D とおく。

(p)=0、・・・、f(p)=0 であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) H(p) が正定値ならば、f(p) は極小値である。

(2) H(p) が負定値ならば、f(p) は極大値である。

(3) detH(p)≠0 かつ H(p) が正定値でも負定値でもないならば、f(p)は極値ではない。

補足

detH(p)=0 の場合、この定理では判定できない。

証明

p=(a、b) とおく。

q=(a+h、b+k) とおく。

いま、ある η=(η、η)、a<η<a+h、b<η<n+k が存在して次のように表せる。(※テイラー展開)



xx(η)=fxx(p)+ε、fxy(η)=fxy(p)+ε、fyy(η)=fyy(p)+ε とおく。

いま、fxx、fxy、fyy は連続である。

よって、ε→0 ( q→p ) である。

そこで、r=√(h+k)、λ=h/r、λ=k/r とおく。

さらに、ε=ελ+ελλ+ελ とおく。

いま、



また、|ε|≦|ε|+|ε|+|ε|である。(※λ+λ=1)

また、ε→0 ( r→0 ) である。

よって、f(q)−f(p) の符合は fxx(p)λ+2 fxy(p)λλ+ fyy(p)λ の符合で決まる。

そこで、H(p) を、fxx(p)λ+2 fxy(p)λλ+ fyy(p)λ に付く対称行列とする。

いま、H(p) は f のヘッセ行列である。

また、H(p) が正定値ならば、f(q)−f(p)>0 である。(※P1)

また、H(p) が負定値ならば、f(q)−f(p)<0 である。(※P1)