基礎系(「ノルム空間+中線定理」⇒内積空間)

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参考

よく知られているように、内積空間には自然にノルムが入る。

では、ノルム空間に内積を入れることはできるであろうか?

実は、1つ条件を追加することで、同じように自然な内積が入る。

以下、これを示そう。

定義 ( 内積空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v、w∈V に対し、(v、w)∈K が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) (v、v)≧0 ((v、v)=0 ⇔ v=0 )

(2) (v、w)=(w、v)

(3) (v+w、u)=(v、u)+(w、u)

(4) (cv、w)=c(v、w)

このとき、(v、w)を 『 v と w の内積 』 という。

また、V を 『 K上の内積空間 』 という。

上の定義に書かれている*は複素共役を意味する。

K= の場合、複素内積空間という。

K= の場合、実内積空間という。

実内積空間の場合、(2)は (v、w)=(w、v)と表せる。

定義 ( ノルム空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v∈V に対し、実数 || v || が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) || v ||≧0 ( || v ||=0 ⇔ v=0 )

(2) || cv ||=|c|・|| v || ( c∈K )

(3) || v+w ||≦|| v ||+|| w ||

このとき、|| v || を 『 v のノルム 』 という。

また、V を 『 K上のノルム空間 』 という。

とくに、(3)を 『 3角不等式 』 という。

P1 ( 中線定理 )

V を K 上の内積空間とする。

v、w∈V とおく。

このとき、|| v+w ||+|| v−w ||=2(|| v ||+|| w ||)である。

証明

いま、|| v+w ||=(v+w、v+w)=(v、v)+(v、w)+(w、v)+(w、w)である。

w を −w に変更すると、|| v−w ||=(v、v)+(v、−w)+(−w、v)+(w、w)である。

よって、|| v+w ||+|| v−w ||=2(|| v ||+|| w ||)である。

P2 ( 「ノルム空間+中線定理」⇒ノルム空間〜実数ver )

V を実ノルム空間とする。

任意の v、w∈V に対し、2(|| v ||+|| w ||)=|| v+w ||+|| v−w || であるとする。(★)

(v、w)=|| 2−1(v+w)||+|| 2−1(v−w)|| と定義する。

このとき、(・、・)は内積であって、|| v ||=(v、v)1/2 である。

補足

つまり、ノルム空間に 『 中線定理と同じ式 』 を追加すると、自然に内積が入る。

証明

明らかに、(v、v)=|| v ||>0 である。

また、(v、v)=0 ⇔ v=0 である。

つまり、定義(内積空間)の(1)が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

明らかに、(v、w)=(w、v)である。

つまり、定義(内積空間)の(2)が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

仮定(★)より、



つまり、(v、w)+(v、w)=2(2−1(v+v)、w)である。(★1)

一方、(0、w)=|| w/2 ||−|| −w/2 ||=0 である。

よって、(★1)において v=0 とすると、(v、w)=2(v/2、w)である。

よって、(v+v、w)=2(2−1(v+v)、w)である。

よって、(★1)より、(v+v、w)=(v、w)+(v、w)である。(★2)

つまり、定義(内積空間)の(3)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、|| 2−1(λv+w) ||=|| 2−1(λ−μ)v+2−1(μv+w) ||≦|| 2−1(λ−μ)v ||+|| 2−1(μv+w) || である。

よって、|| 2−1(λv+w) ||−|| 2−1(μv+w) ||≦|λ−μ|・|| v/2 || である。

λとμを交換しても同様のことが成り立つ。

よって、||| 2−1(λv+w) ||−|| 2−1(μv+w) |||≦|λ−μ|・|| v/2 || である。

よって、μ→λとすると、|| 2−1(μv+w) ||→|| 2−1(λv+w) || である。

つまり、|| 2−1(λv+w) || はλの連続関数である。

同様に、|| 2−1(λv−w) || はλの連続関数である。

よって、(λv、w)=|| 2−1(λv+w) ||−|| 2−1(λv−w) || はλの連続関数である。(★3)

ちなみに、一般に、ノルム関数 || ・ || は連続関数である。

この事実を用いてよいとすれば、上記の議論なしで(★3)を結論してもよい。

さて、(★2)より、(2v、w)=(v+v、w)である。

これを繰り返すと、任意の正の整数 m に対し、(mv、w)=m(v、w)である。

よって、任意の正の整数に対し、(v、w)=(n(n−1v)、w)=n(n−1v、w)である。

つまり、(n−1v、w)=n−1(v、w)である。

また、(★2)より、(v、w)+(−v、w)=(0、w)=0 である。

つまり、(−v、w)=−(v、w)である。

r を任意の有理数とする。

いま、ある正の整数 m、n が存在して、r=±m/n と表せる。

よって、(rv、w)=(±mn−1v、w)=±mn−1(v、w)=r(v、w)である。

よって、(★3)より、任意の実数λに対して(λv、w)=λ(v、w)である。(★4)

つまり、定義(内積空間)の(4)が示された。

(★4)に対する補足

この結論の部分が分からないという人がいるかもしれない。

そこで、これについてもう少し詳しく説明しよう。

まず、f(x)を連続関数とする。

limn→∞=x であるとする。

よく知られているように、limn→∞f(x)=f(x)である。(※微分積分)

むろん、limn→∞f(x)=f(limn→∞)と表してよい。

今回、(★3)より、(λv、w)はλの連続関数である。

つまり、limn→∞(λv、w)=(λv、w)である。

さて、λを実数とする。

このとき、ある有理数の列 λ が存在して、limn→∞λ=λとなる。(※実数の連続性)

また、有理数 r について (rv、w)=r(v、w) が示されている。

よって、(λv、w)=(limn→∞λv、w)=limn→∞(λv、w)=limn→∞λ(v、w)=λ(v、w)である。

P3 ( 「ノルム空間+中線定理」⇒ノルム空間〜複素数ver )

V を複素ベクトル空間とする。

任意の v、w∈V に対し、2(|| v ||+|| w ||)=|| v+w ||+|| v−w || であるとする。(★)

(v、w)=|| 2−1(v+w) ||−|| 2−1(v−w) ||+i(|| 2−1(v+iw) ||)−|| 2−1(v−iw) ||)である。

このとき、(・、・)は内積であり、|| v ||=(v、v)1/2 である。

証明

いま、



また、(v、v)=0 ⇔ v=0 である。

つまり、定義(内積空間)の(1)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、



つまり、定義(内積空間)の(2)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(v、w)=|| 2−1(v+w) ||−|| 2−1(v−w) || と定義する。

この場合、Z2の証明をそのまま適用できるので、

(*1) (v+v、w)=(v、w)+(v、w)

(*2) (λv、w)=λ(v、w) (λ∈

一方、(v、w)=(v、w)+i(v、iw) である。

よって、(*1)より、(v+v、w)=(v、w)+(v、w)である。

つまり、定義(内積空間)の(3)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

λを実数とする。

(*2)より、(λv、w)=λ(v、w)である。

λ=i の場合、



よって、λ=a+ib の場合、



つまり、定義(内積空間)の(4)が示された。