基礎系(自然な内積→高校の内積→内積の公理)

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定義 ( 自然な内積 )

v、w∈ とおく。

いま、v=(v、v、v)、w=(w、w、w)と表せる。

(v、w)=v+v+v と定義する。

このとき、(・、・)を 『 自然な内積 』 という。

は 『 3次元ユークリッド空間 』 を意味する。

つまり、 とは、高校数学で知られている 『 3次元直交座標 』 である。

むろん、(v、v、v)は 『 v の座標 』 である。

P1 ( 高校の内積 )

v、w∈ とおく。

|| v || を、v の大きさとする。

|| w || を、w の大きさとする。

θを、v と w の交角とする。

このとき、(v、w)=|| v |||| w ||cosθである。

補足

つまり、最初から (v、w)=|| v |||| w ||cosθとして内積を定義することもできる。

高校数学の場合、|| v |||| w ||cosθで議論することが多いであろう。

とくに、角度θは視覚的に把握できる概念なので、初学者には馴染みやすい。

証明

いま、|| v ||+|| w ||−|| v−w ||=2|| v |||| w ||cosθである。(※余弦定理)

また、|| v ||=|| v ||+|| v ||+|| v || である。

また、|| w ||=|| w ||+|| w ||+|| w || である。

また、|| v−w ||=(v−w+(v−w+(v−w である。(※ピタゴラスの定理)

よって、(v、w)=v+v+v =2−1(|| v ||+|| w ||+|| v−w ||)=|| v |||| w ||cosθである。

P2 ( 内積の性質 )

v、w∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) (v、v)≧0 ( (v、v)=0 ⇔ v=0 )

(2) (v、w)=(w、v)

(3) (v+w、u)=(v、u)+(w、u)

(4) (cv、w)=c(v、w)

証明

いずれも明らかである。

参考

ここまで、「 自然な内積、高校の内積 」 → 「 内積の性質 」 の順番で議論した。

一方、P2(内積の性質)を 『 公理 』 として採用することもできる。

つまり、「 内積の公理 」 → 「 高校の内積、自然な内積 」 の順番で議論できる。