基礎系(内積の公理→高校の内積→自然な内積)

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定義 ( 内積空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v、w∈V に対し、(v、w)∈K が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) (v、v)≧0 ((v、v)=0 ⇔ v=0 )

(2) (v、w)=(w、v)

(3) (v+w、u)=(v、u)+(w、u)

(4) (cv、w)=c(v、w)

このとき、(v、w)を 『 v と w の内積 』 という。

また、V を 『 K上の内積空間 』 という。

上の定義に書かれている*は複素共役を意味する。

K= の場合、複素内積空間という。

K= の場合、実内積空間という。

実内積空間の場合、(2)は (v、w)=(w、v)と表せる。

定義 ( ノルム空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v∈V に対し、実数 || v || が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) || v ||≧0 ( || v ||=0 ⇔ v=0 )

(2) || cv ||=|c|・|| v || ( c∈K )

(3) || v+w ||≦|| v ||+|| w ||

このとき、|| v || を 『 v のノルム 』 という。

また、V を 『 K上のノルム空間 』 という。

とくに、(3)を 『 3角不等式 』 という。

P1 ( シュワルツの不等式 )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(*) |(v、w)|≦|| v ||・|| w || ( v、w∈V )

この(*)を 『 シュワルツの不等式 』 という。

補足

実は、上記の || ・ || はノルムの公理を満たす。

このことは後の定理で示される。

証明

(v、w)=0 の場合は明らかである。

(v、w)≠0 と仮定する。

(v、w)の偏角をθとすると、(v、w)=|(v、w)|eiθ である。(★1)

ここで、u=e−iθ v とおく。

いま、(u、w)=e−iθ(v、w)=e−iθ iθ|(v、w)|=|(v、w)|である。(★2)

つまり、(u、w)は実数である。

よって、(u、w)=(w、u)である。

一方、|| u ||=(u、u)=e−iθ(e−iθ(v、v)=(v、v)=|| v || である。

よって、|| u ||=|| v || である。(★3)

仮に、|(u、w)|≦|| u ||・|| w || が示されたとしよう。

いま、(★2)と(★3)より、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || も示される。

よって、最初から (v、w) が実数であるとして、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || を示せばよい。

そこで、(v、w) は実数であるとしよう。

x を実数とする。

いま、0≦|| xv+w ||=(xv+w、xv+w)=x|| v ||+2x(v、w)+|| w || である。

よって、判別式より、(v、w)≦|| v |||| w || である。

よって、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || である。

(★1)について補足

複素数を偏角θで表せることは複素解析の基本である。

ただし、この考え方を使用するのはここだけなので、これを知らない人は気にしなくてもよい。

P2 ( 内積空間に自然にノルムが入る )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、||・|| はノルムである。

補足

つまり、内積からノルムを構成できる。

証明

次が成り立つことを示せばよい。

(*1) || v ||≧0 ( || v ||=0 ⇔ v=0 )

(*2) || cv ||=|c|・|| v || (c∈K)

(*3) || v+w ||≦|| v ||+|| w ||

まず、(*1)は明らかである。(※定義:内積空間)

また、(*2)も明らかである。(※定義:内積空間)

また、(*3)は次の式によって示される。(※P1)

定義 ( 角度 )

V を実内積空間とする。

v、w∈V に対し、次のように定義する。



このθを 『 v と w の角度 』 という。

(*)の右辺は、つねに −1 と 1 の間になる。(※P1:シュワルツの不等式)

だから、上記のように定義できる。

P3 ( 高校の内積 )

V を K 上の内積空間とする。

このとき、(v、w)=|| v |||| w ||cosθである。

証明

定義(角度)の式を変形しただけである。

定義 ( 生成 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

W={ c+・・・+c|c∈K、i=1、・・・、r } と定義する。

明らかに、W は V の部分空間である。

このとき、W を 『 { v、・・・、v } によって生成される部分空間 』 という。

また、W を span(v、・・・、v) と表す。

定義 ( 直交 )

V を K 上の内積空間とする。

v、w∈V とおく。

(v、w)=0 であるとする。

このとき、「 v と w は直交する 」 という。

また、v⊥w と表す。

定義 ( 正規直交系、正規直交基底 )

V を K 上の内積空間とする。

A を V の部分集合とする。

任意の v、w∈A は直交するとする。

このとき、A を 『 V の直交系 』 という。

とくに、A の任意の元が単位ベクトルであるとき、『 正規直交系 』 という。

さらに、A が V の基底であるとき、『 正規直交基底 』 という。

単位ベクトルとは、|| v ||=1を満たすベクトルのことである。

P4 ( 直交系は1次独立である )

V を K 上の内積空間とする。

A={ v、・・・、v } を V の直交系とする。

任意の k=1、・・・、r に対し、(v、v)≠0 であるとする。

このとき、A は1次独立である。

証明

+・・・+c=0 とおく。

ここで、上式の両辺に v を掛けると、c(v、v)=0 である。

よって、c=0 である。

同様に、c=0、・・・、c=0 である。

よって、{ v、・・・、v } は1次独立である。

P5 ( シュミットの正規直交化 )

V を K 上の内積空間とする。

、・・・、v∈V を1次独立な元とする。

このとき、正規直交系 e、・・・、e が存在して次を満たす。

(*) 任意の 1≦i≦r に対して span(e、・・・、e)=span(v、・・・、v)である。

補足

つまり、V が有限次元ならば正規直交基底が存在する。

証明

(≠0)∈V とおく。

=v/|| v || とおく。

いま、|| e ||=1 である。

つまり、r=1の場合について、定理が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

i=r−1 の場合について定理が成り立つとする。

、・・・、v は1次独立であるとする。(★1)

いま、ある正規直交系 e、・・・、er−1 が存在して、次を満たす。

(*) 任意の k=1、・・・、r−1 に対し、e∈span(v、・・・、v

ここで、e=v1≦k≦r−1(e、v)e とおく。(★2)

=0 であると仮定する。(背理法)

いま、v は e、・・・、er−1 の1次結合である。

よって、v∈span(v、・・・、vr−1)である。

つまり、v、・・・、v は1次従属である。

これは(★1)に矛盾する。

よって、e≠0 である。(★3)

さて、(*)、(★2)より、e∈span(v、・・・、v)である。

また、i=1、・・・、r−1 に対し、



いま、(★3)より、|| e ||≠0 である。

そこで、e=e/|| e || とおく。

いま、e∈span(v、・・・、v)である。

また、e、・・・、e は正規直交系である。

よって、span(e、・・・、e)=span(v、・・・、v)である。(※P4)

P6 ( 自然な内積 )

V を K 上の 3 次元内積空間とする。

{ e、e、e } を V の正規直交基底とする。(※P5(シュミットの正規直交化)の補足)

v、w∈V とおく。

いま、v=v+v+v、w=w+w+w と表せる。

このとき、(v、w)=v+v+v である。

証明

次のように計算できる。(※定義(内積空間)、定義(正規直交系))

(*) (v、w)=(v+v+v、w+w+w)=v+v+v

参考

ここまで、内積の公理→高校の内積→自然な内積の順番で議論した。

つまり、高校で知られる内積は、内積の公理に含まれているのである。

また、最初、内積の公理には 『 角度 』 という概念は、直接的には現れていなかった。

しかし、内積からシュワルツの不等式が導かれ、ここから角度θを定義できた。

つまり、内積の公理には 『 角度 』 という概念が含まれていたのである。

このように、本質的な性質を公理として選び出し、各性質の関係を明らかにすることができる。

これが抽象化・公理化の利点である。

残念ながら、この重要性は世間には伝わりにくい。