基礎系(内積に対する直観的理解、余弦定理の証明)

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参考 ( 内積に対する直観的理解 )

物体に力を作用させて直線上を動かす。

力の大きさを F とする。

物体の動いた距離を s とする。

「 力の向き 」 と 「(物体の)変位の向き 」 が成す角をθとする。



このとき、力が成す仕事は W=Fscosθ である。

ところで、角度θは 「 力の向き 」 と 「 変位の向き 」 が分かれば自然に定まる量である。

つまり、ベクトル F と s が分かれば、θを表す必要がない。

そこで、F・s=Fscosθ と定義して、これを 『 F と s の内積 』 という。

このように、力学の仕事を考えると、内積という量が自然に登場する。

むろん、F=|F|であり、s=|s|である。

つまり、F・s=|F||s|cosθ である。

一般に、ベクトル A と B に対して A・B=|A||B|cosθ と定義される。

とくに A・A=|A||A|cos0=|A である。

ベクトル A と B が直交しているとき、A・B=|A||B|cos(π/2)=0 である。

参考 ( 三角形の余弦定理 )

=OP、r=OQ、R12=r−r とおく。

このとき、R12=r+r−2rcosθである。

図示すると、

証明

次のように計算できる。

参考 ( 単位ベクトルに対する直観的理解 )

大きさが1であるベクトルを 『 単位ベクトル 』 という。

では、一般に 「 ベクトル 」 と 「 単位ベクトル 」 の内積はどうなるのだろうか?

これを確認してみよう。

をベクトルとする。

を単位ベクトルとする。

内積を計算すると、A・n=|A||n|cosθ=|A|cosθである。

つまり、A・n は A の n 方向の成分である。

つまり、単位ベクトル n は、ベクトル A から n 方向の成分を取り出す。

参考 ( 完全性 )

上で述べたように、単位ベクトル n はベクトル A から n 方向の成分を取り出す。

よって、x、y、z軸方向の単位ベクトル i、j、k によって A から各方向の成分を取り出せる。

明らかに、これは 「 ベクトル A の全情報を抜き出す 」 を意味する。

逆に言えば、これらの情報によって A を完全に復元できる。

実際、A=(A・i)i+(A・j)j+(A・k)k が成り立つ。(★)

これを 『 完全性 』 という。

単位ベクトル i、j、k を図示すると、

(★)の証明

=A+A+A とおく。

ここで、A、A、A は A の各方向に対する成分である。

これらの値を求めてみよう。

計算すると、







つまり、