基礎系( e の存在証明)

サイトのTOP→理系インデックス
基礎系のTOP→基礎系インデックス





定義 ( ネイピア数 e )

定数 e を次のように定義する。

定数 e を上のように定義するからには、右辺の極限が存在しなければならない。

それを保障するのが次の定理である。

P1

次の数列は収束する。

証明

(an∈ が単調増加かつ上に有界であることを示せばよい。

まず、(an∈ が単調増加であることを示す。

を展開すると、



また、



と an+1 を比較すると、an+1 の方が項数が1つ多い。

しかも、1/2!、・・・、1/n!の係数も全て an+1 の方が大きい。

つまり、a< an+1 である。

よって、(an∈ は単調増加である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に(an∈ が有界であることを示す。

上で a を展開した式と比較すると、



さらに、



よって、(an∈ は上に有界である。

以上により、(an∈ は収束する。(※実数の連続性)

参考

以上で、e の存在が示された。

以下、e の性質をいくつか確認しよう。

P2

次が成り立つ。

証明

P1より、

P3

e は無理数である。

証明

e は有理数であると仮定する。(背理法)

いま、ある正の整数 m、n が存在して、e=m/n と表せる。

いま、ある 0<c<1 が存在して、次のように表せる。(※マクローリン展開)



いま、n!e は正の整数である。

よって、e/(n+1)も正の整数である。

また、e<e<3 である。

よって、



よって、n+1<3 である。

よって、n=1である。

よって、e=m である。

一方、(*)より、2<e<3 である。

これは矛盾である。