基礎系(リーマン積分をレベル別に定義し、各定義の欠点を述べる)

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参考

リーマン積分とは、高校数学でよく知られている通常の積分である。

むろん、リーマン積分は本質的に1つである。

しかし、その定義をどれだけ厳密に述べるかによって、定義の方法が異なる。

それゆえ、参考書によってリーマン積分の定義が異なっていると感じる入門者も多いであろう。

そこで、このページでは、厳密性のレベルに応じてリーマン積分の定義を紹介する。

具体的には、次のように4段階にレベル分けできる。

(1) 高校数学 ( 原始関数に基づいて不定積分を定義する )

(2) 区分求積法 ( 無限小変位の積立ver )

(3) 区分求積法 ( 一様連続ver )

(4) 「 上限全体の下限 」 と 「 下限全体の上限 」 で挟む。

(1)→(2)→(3)→(4)と進むにつれて、各定義の欠点が改善されていく。

後で詳しく述べるが、先に各定義の欠点を述べておく。

(1)の欠点は、積分の構成法を述べていないことである。

(2)の欠点は、積分の存在を述べていないことである。

(3)の欠点は、可積分性が連続関数のみに限定されていることである。

(4)の欠点は、可積分性が、不連続点が 「 小さな無限個 」 である場合のみに限定されていることである。

ちなみに、(4)の欠点を補う積分として 『 ルベーグ積分 』 がある。

ただし、ルベーグ積分は、そもそも定義の土台がリーマン積分と異なる。

なので、このページでは扱わない。

定義 ( 高校数学〜原始関数に基づく不定積分 )

f(x) を関数とする。

ある関数 F(x) が存在して、F’(x)=f(x) となるとする。

このとき、F(x) を 『 f の原始関数 』 という。

例えば、f(x)=2x としてみよう。

このとき、F(x)=x+3 は f の原始関数である。

実際、



さて、F(x) を f の原始関数とする。

このとき、F(x)+C ( C は任意定数 ) を 『 f の不定積分 』 という。

上記の定義は高校数学でよく用いられる。

しかし、積分の構成法が述べられていない。

たしかに、x+3 を微分すれば 2x となる。

しかし、x+3 はどこからやってきたのかという説明がない。

つまり、2x の積分を構成する手段が何も述べられていない。

2x や sinx などのように初等関数のみを考える場合はこの定義で十分であろう。

しかし、現実の問題には、それ以外の関数も普通に登場する。

そこで、積分の構成法を考えたい。

その代表的な方法が 『 区分求積法 』 である。

まずは無限小変位の積立で積分を定義したい。

そのために、まずは次の概念を準備しよう。

定義 ( 同位の無限小、高位の無限小 )

O(h)/h→有限値 ( h→0 ) となる関数 O(h) を 『 同位の無限小 』 という。

o(h)/h→有限値 ( h→0 ) となる関数 o(h) を 『 高位の無限小 』 という。

つまり、高位の無限小 o(h) は、h→0 よりも速く 0 に近づく関数である。

とくに、o(h)が重要である。

P1 ( 微分とは1次化である )

I を の開区間とする。

f:I→ を関数とする。

x∈I とおく。

このとき、次は同値である。

(1) f は x で微分可能である。

(2) ある定数 c が存在して、f(x+h)−f(x)=ch+o(h) となる。

とくに、(2) の c は c=f’(x) である。

証明

(1)を仮定する。

ε(h)=f(x+h)−f(x)−chとおく。

いま、ε(h)/h→0 ( h→0 ) である。

よって、ε(h) を o(h) としてよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

次のように定義する。



いま、g は h=0 において連続である。

また、



上式の両辺について h→0 とすると、f’(x)=c である。

定義 ( 置換積分〜無限小変位の積立ver )

x(t) を微分可能な関数とする。

x(t) の定義域は [a、b] であるとする。

a=t<t<・・・<t=b を n 等分の分割とする。

Δt=(b−a)/n とおく。

つまり、t=a+kΔt ( k=0、・・・、n ) である。

むろん、tk+1=t+Δt である。

いま、x(tk+1)−x(t)=v(t)Δt+o(Δt) と表せる。(※P1)(★1)

ただし、v(t) は、t に応じて定まる有限値を意味する。

同様に、o(Δt) は、t に応じて定まる誤差項を意味する。

(★1)を、k=0 から k=n−1 まで合計すると、



つまり、次のように表せる。



(Δt) のうちで最大値を θ(Δt) と表す。

いま、θ(Δt)→0 ( Δt→0 ) である。(※定義:高位の無限小)

よって、



また、Δt→0 と n=(b−a)/Δt→∞ は同値である。

よって、



そこで、上式の右辺を次のように表す。



つまり、

上の定義は積分の構成法を示している。

実際、上の定義に基づいて具体的に積分を計算できる。

例えば、v(t)=2t としよう。

そして、定義域を [a、b] とする。

すると、v(t) の [a、b] 上の積分は次式によって計算できる。

しかし、上記の定義では極限 lim狽磨it)Δt の存在が示されていない。

つまり、lim狽磨it)Δt の収束性が示されていない。

つまり、本当に積分が存在するか否かに対する説明がない。

つまり、可積分性が述べられていない。

そこで、以下の定義ではこの欠点を改良する。

そのために、まずは次の概念を用意する。

定義 ( 一様連続 )

I を の部分集合とする。

f:I→ を関数とする。

任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、次を満たすとする。

(*) |x−x|<δ⇒|f(x)−f(x)|<ε

このとき、「 f は I 上で一様連続である 」 という。

P2 ( 最大値・最小値の定理 )

K を の有界閉集合とする。

K≠φとする。

f:K→ を連続関数とする。

このとき、f は K 上で最大値・最小値をもつ。

証明

これの証明は省略する。

P3 ( 有界閉区間上の連続関数は一様連続である )

有界閉区間 I 上の連続関数 f は一様連続である。

証明

これの証明は省略する。

定義 ( 置換積分〜一様連続ver )

f:[a、b]→ を連続関数とする。

a=t<t<・・・<t=b を分割とする。( n等分でなくてよい )

いま、f は各区間 [t、tk+1] 上で最大値・最小値をもつ。(※P2)

また、f は一様連続である。

よって、任意の ε>0 に対し、次が成り立つようにできる。

(*) 各区間 [t、tk+1] を十分小とすると、|M−m|<εとなる。

つまり、任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、max|tk+1−t|<δ⇒|M−m|<εとなる。

ただし、max|tk+1−t|は各区間 [t、tk+1] のうち最大幅を意味する。

k に依存せずに|M−m|<εとなるようにできることが重要である。

いま、



εは任意であるから、上式は 狽lΔt と 狽Δt が同じ極限をもつことを意味する。

よって、次のように定義できる。

上の定義では、積分の存在が示されている。

ただし、上の定義では f(t) が連続関数であることを仮定している。

つまり、連続関数に対してのみ可積分性が示された。

ただし、この可積分性は、不連続点が有限個の関数に対しても自然に拡張できる。

実際、例えば、[a、b]に属する点 c が不連続点であるとしよう。

このとき、次のように定義できる。



むろん、不連続点が n 個である場合も同様である。

しかし、これを不連続点が無限個ある場合まで広げることはできない。

もしかしたら、

「 n 個の不連続点について可積分性があるなら、無限個にも可積分性があるのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

これは 『 帰納的にいくらでも大きな有限個が存在すること 』 と 『 無限個を混同 』 を混同している可能性がある。

ここでは詳細は省くが、とりあえずは有限個の議論をそのまま無限に拡張することは難しいと覚えてほしい。

さて、既に述べたように、上の定義では無限個の不連続点には可積分性を示せない。

そこで、以下、この欠点を改良しよう。

ちなみに、定義(置換積分〜無限小変位の積立ver)では ∫v(t)dt=x(b)−x(a) という式が登場した。

一方、今回の定義では、これに相当する式が書かれていない。

しかし、新たな欠点が生まれてしまったのだろうかと心配する必要はない。

実際、今回の定義でも、同様の公式が導かれる。

これを示しておく。

f:[a、b]→ を連続関数とする。

いま、次のような関数 F(t) を定義できる。



f(t) の [t、t+Δt] における最大値 M とし、最小値 m とする。

いま、



よって、



いま、f は連続であるから、Δt→0 で、M→f(t) かつ m→f(t) である。

よって、



つまり、F を微分すると f になる。

この F を 『 f の不定積分 』 という。

いま、



これは定義(置換積分〜無限小変位の積立ver)の ∫v(t)dt=x(b)−x(a) に相当する式である。

定義 ( L(Δ、f)、U(Δ、f) )

I=[a、b] を の閉区間とする。

Δ:a=x<x<・・・<xn−1<x=b を [a、b] の分割とする。

=[x、xk−1] とおく。

|I|=|x−xk−1|とおく。( つまり、|I|は I の幅である )

f:I→ を関数とする。

各 I 上での f の下限を m と表す。

各 I 上での f の上限を M と表す。

次のように定義する。

むろん、L(Δ、f)≦U(Δ、f)である。

定義 ( L(f)、U(f) )

L(f)=supΔL(Δ、f)と定義する。

U(f)=infΔU(Δ、f)と定義する。

supΔL(Δ、f) は、任意の分割Δを考え、L(Δ、f)の上限をとるという意味である。

つまり、L(f) は 『 下限全体の上限 』 である。

定義 ( リーマン可積分 )

f:I→ を関数とする。

任意のε>0 に対し、I の分割 Δ が存在して、U(Δ、f)−L(Δ、f)<εとなるとする。

このとき、「 f は I 上でリーマン可積分である 」 という。

あるいは 「 リーマン積分可能である 」 という。

しかし、この定義だけでは具体的にどのような関数がリーマン可積分なのか分からない。

そこで、以下ではこれを調べる。

P4

f がリーマン可積分ならば L(f)=U(f)である。

証明

省略する。

定義 ( 定積分 )

f:[a、b]→ を関数とする。

f はリーマン可積分であるとする。

いま、L(f)=U(f)である。(※P4)

そこで、この値を次のように表す。