基礎系(行列の作用による点の移動は、対角化とスペクトル分解によって説明できる)

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参考 ( 行列の作用は点を移動させる )

点の座標に行列を作用させると、点は移動する。

例えば、次のような行列を考える。



この行列を点(1、1)に作用させてみよう。

すると、



つまり、点(1、1)は(3、7)に移動する。

むろん、他にも色々な行列の作用を考えることができる。

ここに、何らかの法則性があるように思える。

これを調べることにしよう。

参考 ( 行列の作用は正方形を平行四辺形に変換する )

改めて、点(1、1)と行列 A を考えよう。

上の議論では、ただ単に、この点のみに注目していた。

ここで、この点から、x 軸と y 軸に線を下ろそう。

つまり、単位正方形が視えてくる。

いま、単位正方形の各点は、(0、0)、(1、0)、(0、1)、(1、1)である。

各点に対して、行列 A を作用させてみよう。

すると、



これを図示すると、



つまり、変換後の図形は平行四辺形である。

一般に、正方形に2次行列を作用させると、正方形は拡大(あるいは縮小)された平行四辺形になる。

その理由は、行列の計算に注意すれば簡単に分かるであろう。

例えば、2つのベクトル x=(x、x)、y=(y、y)を考える。

これを2辺とする平行四辺形の残りの頂点は(x、x)+(y、y)である。

一方、



上式の左辺は、行列の作用による(1、1)の移動である。

上式の右辺は、いま述べたように、平行四辺形の残りの頂点を意味する。

つまり、行列の作用は、平行四辺形を意味する。

しかし、どのような平行四辺形になるのか、その原理はまだ分からない。

そこで、以下ではこれを調べることにしよう。

参考 ( 対角行列の作用は正方形の各辺を拡大する )

例えば、次のようにおく。



このとき、図形は横に3倍、縦に2倍される。

同様のことが3次行列について成り立つことは簡単に分かるであろう。

つまり、対角行列は立方体の各辺を拡大する。

参考 ( 対角化と座標軸 )

A は対角化可能であるとする。

つまり、ある正則行列 P が存在して、P−1AP は対角行列となる。

既に見たように、P−1AP は単位正方形の各辺を拡大する。

ここで、視点を変えよう。

いま、むろん、P は行列である。

よって、P も、正方形を平行四辺形に変換する。

これは、座標軸を、その平行四辺形と同じ方向に歪ませることを意味する。

そして、P−1 は、この座標軸を元に戻す変換である。

つまり、A は、Pによって変換された座標軸上では対角行列と同じ役割を演じる。

図示すると、

参考 ( 対角化とは固有値問題である )

最初、次のように述べた。

(*1) 行列は正方形を平行四辺形に変換する。

対角化という概念を通じて、その法則性が明らかになった。

つまり、次のことが分かった。

(*2) 行列が対角化可能ならば、適切な座標変換を行うことで、その座標軸上で A は対角行列と同じ役割を演じる。

実は、これは固有値問題(スペクトル分解)である。

固有値問題とは、簡単に言えば、固有値全体を分類することを意味する。

ここで、対角行列の作用を確認しよう。

既に述べたように、対角行列は正方形の各辺を拡大する。

実際、



これは次のことを意味する。

(*1) (1、0)は固有値 3 に関する固有ベクトルである。

(*2) (0、1)は固有値 2 に関する固有ベクトルである。

このように、対角行列の固有値は簡単に見つかる。

というより、対角行列そのものが固有値を示している。

実際、固有値(3と2)は、そのまま対角行列の成分として現れている。

つまり、「 行列の固有値問題が解ける 」 は 「 行列を対角化できる 」 を意味するのである.

結局、次の事柄は本質的に同じ意味をもつ。

(**1) 行列の固有値問題が解ける。

(**2) 行列を対角化できる。

(**3) 適切な座標変換を行って、その座標軸上で、行列の作用が対角行列を演じるようにできる。

ここで、述べている内容は行列に関するものである。

しかし、よく知られているように、正方行列には対応する線形変換がある。

同様のことを線形変換について議論したものが 『 スペクトル分解 』 である。

これを確認しよう。

A を3×3行列とする。

y=Ax を、A が定める線形変換とする。

いま、



よって、y=a11、y=a22、y=a33 である。

つまり、n次線形変換を1次線形変換に分解したことになる。

ここで、次のような写像を定義する。



このような写像を 『 射影 』 という。

これを用いると、Ax=a11(x)+a22(x)+a33(x)である。

A: と見なせば、A(x)=a11(x)+a22(x)+a33(x)である。

つまり、A=a11+a22+a33 である。

つまり、Aによる線形変換を、射影の和で表したことになる。

( 言い換えれば、線形変換を比例拡大の和で表したということである )

線形代数でよく知られているように、対角化では、対角成分として、元の行列の固有値が並ぶ。

つまり、線形変換を 『 行列の固有値を係数とする射影の和 』 で表したことになる。

これが 『 スペクトル分解 』 である。

参考 ( スペクトル分解とは、比例拡大の和である )

φ:V→V を線形変換とする。

そのスペクトル分解はφ=λ+・・・+λ と表せる。

( λ はφの固有値であり、p は射影である )

既に述べたように、射影は、点から特定の座標軸の成分を抜き出す写像である。

すると、λ は、座標軸の成分を拡大することを意味する。

つまり、スペクトル分解とは、比例拡大の和である。

これは行列の対角化と同じである。

既に述べたように、対角行列は、正方形の各辺を拡大する。

つまり、対角行列による作用は、比例拡大の和である。