基礎系(数列の厳密な証明)

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参考

次が成り立つ。

補足

これは高校数学の議論では証明できない極限として有名である。

これを証明するためには、εδ論法によって収束の速さを議論する必要がある。

証明

ε>0 とおく。

いま、ある自然数 N が存在して、n≧N ならば|x−a|<εである。

また、n≧N とすると、



いま、上式において 1≦i≦N−1|x−a|は定数である。

n を十分大きくとれば、(*)の第1項はいくらでも小さくなる。

つまり、ある自然数 N が存在して、n≧N ならば (1/n)1≦i≦N−1|x−a|<εである。

ここで、N=max{ N、N } とおく。

いま、

参考

次が成り立つ。

(1) limn→∞1/n=0

(2) limn→∞n/10=0

(3) limn→∞101/n=1

(4) limn→∞1/2=0

(5) limn→∞10−1/n=1

(6) limn→∞=0 (|a|<1 )

(7) limn→∞na=0 ( |a|<1 )

(1)の証明

ε>0 とおく。

N=[1/ε]+1 とおく。( [・] はガウス記号である )

いま、n≧N ⇒|1/n−0|<ε である。

つまり、limn→∞1/n=0 である。

(2)の証明

帰納的に、n<10 が分かる。

よって、n/10<1/n である。

よって、(1)より、limn→∞n/10=0 である。

(3)の証明

明らかに、11/n<101/n である。

n≧3 とすると、



よって、101/n>1+4/n ( n≧3 ) である。

N=[4/ε]+1 とおく。

いま、n≧N ⇒|101/n−1|<ε である。

つまり、limn→∞101/n=1 である。

(4)の証明

帰納的に、n<2 が分かる。

よって、1/2<1/n である。

よって、(1)より、limn→∞1/2=0 である。

(5)の証明

|10−1/n−1|=10−1/n|1−101/n|<|1−101/n|である。

よって、(2)より、limn→∞10−1/n=1 である。

(6)の証明

帰納的に、(1+x)≧1+nx が得られる。

いま、a=1/(1+x) ( x>0 ) と表せる。

よって、0<a=1/(1+x)<1/(1+nx) である。

(1)より、limn→∞1/(1+nx)=0 である。

よって、limn→∞=0 である。

(7)の証明

(6)より、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|a|<1/10 である。

n=Nq+r ( 0≦r<N ) と表す。

いま、n|a|=(Nq+r)|a|Nq+r=(Nq+r)/10≦N(q+1)/10 である。

よって、(2)より、limn→∞na=0 である。

参考

次が成り立つ。

証明

ε>0 とおく。

N=[1/ε]+1 とおく。( ただし [・] はガウス記号である )

いま、n≧N ならば 1/ε<n である。

よって、n≧N ならば|(n+1)/n−1|<εである。

参考

次の数列を考える。



(1) (x)は収束する。

(2) (x)の極限はα=1+√2 である。

(1)の証明

いま、



よって、xn+1−x と x−xn−1 は同符合である。

一方、明らかに、x<x である。

よって、x<x<x<・・・ である。

つまり、(x)は増加数列である。(★1)

<3 とする。

すると、xn+1=(2x+1)1/2<√7<3 である。

よって、x は上に有界である。(★2)

(★1)、(★2)より、x は収束する。(※実数の連続性)

(2)の証明

(x)の極限をαとする。(★)

すると、α=(2α+1)1/2 である。

よって、α−2α+1=0 である。

よって、α=1±√2 である。

ただし、x≧1より、α>0 である。

よって、α=1+√2 である。

補足

(2)は高校数学でもよく知られている。

しかし、(1)は大学の範囲であろう。

だから、高校数学では 「 極限の存在 」 を前提として今回の問題(2)を出す。

これによって(1)をなかったことにするのである。

参考

次が成り立つ。

証明

=n1/n とおく。

いま、xn+1=(n+1)1/(n+1) である。

n+1−x を考えても変形できない。

n+1/x をそのまま考えると複雑すぎる。

そこで、



一方、(1+1/n)<3 である。(★0)

よって、(xn+1/xn(n+1)<3/n である。

よって、n≧3 ならば (xn+1/xn(n+1)<1 である。

よって、x>xn+1 である。

つまり、(x)の第3項以降は減少数列である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、明らかに、x=n1/n≧1 である。

よって、(x)は下に有界である。(★2)

よって、(★1)、(★2)より、(x)は収束する。(※実数の連続性)

そこで、(x)の極限をαとする。

≧1 であるから、α≧1 である。(★3)

α>1 と仮定する。(背理法)

α=1+h ( h>0 ) とおく。

いま、(x)は減少列であり、αに収束する。

よって、つねに、x=n1/n>1+h である。

よって、n>(1+h) ( n≧3 ) である。

一方、



よって、



よって、



n→∞ とすると、上式の右辺は +∞ に発散する。

これは矛盾である。

参考

上の2問から分かるように、(x)の単調性を調べる方法は次の2通りである。

(*1) xn+1−x

(*2) xn+1/x

参考

次の数列を考える。



このとき、(a) と (b) は収束し、同じ極限をもつ。

補足

は、a と b の相加平均である。

は、a と b の相乗平均である。

証明

=b の場合、任意の n に対して a=b=a である。

<b の場合について考える。

いま、a<a<b<b である。

つまり、[a、b]⊂[a、b] である。

帰納的に、次が成り立つ。

(*1) a<a<・・・<b <b

(*2) 0<b−a≦2−(n−1)(b−a

よって、ある c∈ が存在して、∩1≦n≦∞[a 、b ]=c である。(※区間縮小法)

いま、ある自然数 N が存在して、



よって、



同様に、



よって、(a) と (b) は c に収束する。

>b の場合についても同様に議論できる。

以上により、(a) と (b) は同じ極限をもつ。

参考

次のようにおく。



このとき、(c)は収束する。

証明

次が成り立つ。





とくに、(*1)は下図によって理解できる。



ここで、(*1)を式変形すると、



(*2)より、(c)は単調減少である。

(*3)より、(c)は 0 を下界としてもつ。

よって、(c)は収束する。

参考

次が成り立つ。

証明

まず、1<10 である。

よって、1=11/n<101/n である。(★1)

n≧3 の場合、



よって、101/n−1<4/n ( n≧3 ) である。

ε>0 とおく。

N=[4/ε]+1 とおく。

いま、4/N<εである。

よって、n≧N ならば、101/n−1<εである。(★2)

(★1)、(★2)より、n≧N ならば|101/n−1|<εである。