基礎系(対数関数と指数関数の厳密な構成)

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P1

f は単調関数であるとする。( つまり、単調増加関数または単調減少関数である )

f(x) は x の正の範囲で定義されているとする。

limn→∞f(n)=b であるとする。( b=±∞ の場合も認める )

このとき、limx→∞f(x)=b である。

証明

f が単調増加関数である場合について考える。( 単調減少の場合も同様に証明できる )

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒ b−ε<f(n)≦b となる。

よって、n≧N ⇒ b−ε<f(N)≦f(x)≦b である。

つまり、limx→∞f(x)=b である。

参考

f(x) は x の正の範囲で定義されているとする。

limx→∞f(x)=b であるとする。( b=±∞ の場合も認める )

このとき、limn→∞f(n)=b である。

証明

ε>0 とおく。

いま、ある L が存在して、x≧L ⇒|f(x)−b|<εである。

N を自然数として、N≧L とする。

いま、n≧N ⇒|f(n)−b|<εである。

P2 ( 逆関数定理 )

I を の区間とする。

f:I→ を連続関数とする。

J=f(I) とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) J は区間である。

(2) f が狭義単調関数ならば、逆関数 f−1:J→I が存在する。

(3) 逆関数 f−1 は連続である。

証明

既知とする。

P3 ( 逆関数の微分 )

I を の区間とする。

f:I→ を連続関数とする。

f は狭義単調であるとする。

いま、逆関数 f−1:J→I ( ただし J=f(I) )が存在する。(※P2)

f は点 a∈I において微分可能であり、f’(a)≠0 であるとする。

このとき、f−1 は b=f(a) において微分可能であり、(f−1)’(b)=1/f’(a) である。

証明

既知とする。

定義 ( log )

次のように定義する。



このとき、log を 『 対数関数 』 という。

1/x は x>0 において連続である。

とくに、[1、x] または [x、1] で連続である。( x>1 の場合と x<1 の場合で分けて考えている )

よく知られているように、有界閉区間上の連続関数はつねに可積分である。

よって、定義式の積分が存在する。

慣用的に、log(x) は logx と表される。

むろん、log1=0 である。

P4

(1) logx は (0、∞) で C 級であり、(logx)’=1/x である。

(2) x、y>0 ⇒ log(xy)=logx+logy であり、log(1/x)=−logx である。

(3) logx は狭義単調増加であり、limx→∞logx=∞、limx→+0logx=−∞ である。

(1)の証明

いま、logx は微分可能である。(※微分積分学の基本定理)

また、(logx)’=1/x である。(※微分積分学の基本定理)

よって、logx は C 級である。

(2)の証明

いま、



t=xs とおくと、

(3)の証明

x<y とする。

いま、



また、



よって、logy>logx である。

つまり、log は狭義単調増加である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

よく知られているように、1≦n≦∞(1/n)=∞ である。

k−1≦t≦k ( k≧2 ) とおく。

いま、1/(k−1)≧1/t≧1/k である。

よって、



よって、



よって、limx→+∞logx=∞ である。(※P1)

x=1/t とおく。

いま、limx→+0logx=limt→+0log(1/t)=−limt→+0logt=−∞ である。

定義 ( exp )

exp:→(0、∞) を log の逆関数とする。

このとき、exp を 『 指数関数 』 という。

既に示したように、logx は (0、∞) において狭義増加関数であり、連続である。(※P4)

よって、logx は逆関数をもつ。(※P2)

P5

(1) exp は C 級であり、(expx)’=expx である。

(2) 任意の x、y∈ に対し、exp(x+y)=expx+expy である。

(3) exp は狭義単調減少であり、limx→∞expx=∞、limx→−∞expx=0 である。

(1)の証明

いま、y=expx は微分可能である。(※P3)

また、x=logy である。

よって、次のように計算できる。(※P3)



つまり、(expx)’=expx である。

よって、expx は C 級である。

(2)の証明

u=expx、v=expy とおく。

いま、x=logu、y=logv である。

よって、exp(x+y)=exp(logu+logv)=exp(logu)+exp(logv)=expx+expy である。

(3)の証明

明らかである。(※P2)

定義 ( a

a>0 とする。

=exp(xloga) と定義する。

このとき、a を 『 a を底とする指数関数 』 という。

x=1/n とすると、a1/n=exp(n−1loga) である。

よって、a1/n・・・a1/n=a ( 左辺は n 個の積 ) である。(※P5)

P6

(1) ax+y=a

(2) loga=xloga

(3) (a=axy

(4) (ab)=a

(5) (1/a)=a−x=1/a

(6) a>1 ならば、a は狭義増加で、limx→∞=∞、limx→−∞=0

(7) a<1 ならば、a は狭義減少で、limx→∞=0、limx→−∞=∞

(8) a は C 級であり、(a)’=aloga

(1)の証明

x+y=exp((x+y)loga)=exp(xloga+yloga)=a

(2)の証明

定義より、a=exp(xloga) である。

両辺について log をとると、loga=xloga である。

(3)の証明

(a=exp(yloga)=exp(yxloga)=axy

(4)の証明

(ab)=exp(xlogab)=exp(xloga+yloga)=a

(5)の証明

(4)より、明らかである。

(6)の証明

いま、a>1 である。

よって、loga>0 である。

よって、a=exp(xloga) は狭義単調増加である。

また、limx→∞=∞、limx→−∞=0 である。

(8)の証明

いま、a<1 である。

よって、1/a>1 である。

よって、(4)より、a=(1/a)−x である。

(8)の証明

(a)’=(exp(xloga))’=exp(xloga)・loga=aloga