基礎系(2次行列の直交分解から始まる行列論)

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参考 ( 概要 )

「 対称行列、交代行列、対角化、回転行列、ベクトルの外積 」 は1つのストーリーにつながる。

議論の流れを図示すると、

参考 ( 直交分解 )

X を正方行列とする。

S=(1/2)[X+X] とおく。

A=(1/2)[X−X] とおく。

いま、X=S+A である。

また、S は対称行列である。( つまり S=S )

また、A は交代行列である。( つまり A=−A )

つまり、任意の行列は対称行列と交代行列の和として表される。

一般に、交代行列 A の対角成分はすべて 0 である。(※明らか)

交代行列は 『 反対称行列 』 と呼ばれることもある。

参考 ( 直交分解 の A には自然にベクトルが伴う )

X を正方行列とする。

既に確認したように、X は対称行列 S と交代行列 A の和として表される。

いま、次のようにおくことができる。(※参考(直交分解)の補足)



すると、



ただし、Ω=(Ω、Ω、Ω) である。

つまり、任意のベクトル x に対して Ax=Ω×x となる。

つまり、参考(直交分解)の交代行列 A には自然にベクトルが付く。

参考 ( 対称行列には回転行列が伴う )

S を対称行列とする。

次のようにおく。



ここから、次のような2次形式を考える。



つまり、1=ax+bx+cx を考える。(★1)

上式において bx の項がなければ、これは楕円である。

しかし、bx の項があるため、よく分からない。

そこで、座標をθだけ回転させてみよう。

つまり、



つまり、



上式右辺の回転行列を P とおく。

回転行列は直交行列であることに注意しよう。( つまり P=P−1

(*2)を(*1)に代入する。

すると、1=xSx=(Px’)S(Px’)=(x’)(PSP)x’=x’S’x’である。(★2)

ただし、S’=PSP=P−1SP とおいた。

よく知られているように、対称行列は直交行列によって対角化できる。

また、2×2直交行列は回転行列の形で表せる。

ゆえに、S’が対角行列となるように P を選ぶことができる。

そこで、そのような P を選ぶ。

すると、(★2)は、



上式は楕円を意味する。

図示すると、



つまり、次は同じ意味である。

(1) 対称行列を対角化する。

(2) 楕円の主軸を見つける。(回転行列を見つける)

つまり、対称行列には自然に回転行列が伴う。

3×3対称行列 S を S’=PSP で対角化して次を得たとする。



いま、(1)について x’S’x’=1 は楕円体面(ラグビーボール)である。

実際、x’S’x’=λ+λ+λ=1 である。

また、(2)について x’S’x’=1 は球面である。

(1)において λ の固有空間は1次元である。

(1)において λ の固有空間は2次元である。

(2)において λ の固有空間は3次元である。