基礎系(テイラー展開は平均値の定理の一般化である)

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参考 ( テイラー展開 )

f:[a、b]→ を連続関数とする。

f は開区間 (a、b) 上で n+1 回微分可能であるとする。

このとき、ある θ∈(0、1) が存在して、次を満たす。





これを 『 テイラー展開 』 という。

実は、テイラー展開は 『 平均値の定理 』 の一般化である。

実際、上式において2次以上の項を切り捨てると、平均値の定理で知られている式になる。

しかし、この説明では剰余項 Rn+1 に対する説明が少ない。

そこで、以下、これについて説明する。

P1 ( 平均値の定理〜その1 )

f:[a、b]→ を連続関数とする。

f は開区間 (a、b) 上で微分可能であるとする。

このとき、ある c∈(a、b) が存在して、次を満たす。

証明

これは高校数学でよく知られているので、証明は省略する。

P2 ( 平均値の定理〜その2 )

f:[a、b]→ を連続関数とする。

f は開区間 (a、b) 上で微分可能であるとする。

このとき、ある θ∈(0、1) が存在して、次を満たす。

証明

P(平均値の定理〜その1)において θ=(c−a)/(b−a) とおく。

すると、c=a+θ(b−a)である。

つまり、今回の定理が得られる。

P3 ( 平均値の定理〜その3 )

f:[a、b]→ を連続関数とする。

f は開区間 (a、b) 上で 『 2回微分可能 』 であるとする。

このとき、ある θ∈(0、1) が存在して、次を満たす。

証明 ( 直観的 )

いま、ある c∈(a、b) が存在して、f(b)=f(a)+f’(c)(b−a) である。(※P1)

一方、当然だが、f(b)=f(a)+f’(a)(b−a) は一般には成り立たない。

よって、この場合は、誤差項 R を追加して、f(b)=f(a)+f’(a)(b−a)+R と表す。

いま、f’は微分可能である。

よって、f’に対して平均値の定理を用いることができる。

すると、f’’(a+θ(b−a))(b−a)である。

さらに、これを b について積分する。

ただし、f’’(a+θ(b−a))の b は固定されていると考えてよい。

なので、(b−a) を b について積分すればよい。

すると、定理の式が得られる。

参考

明らかに、P3 (平均値の定理〜その3)を繰り返せば、テイラー展開となる。