基礎系(積分を定義から直接に計算する)

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定義 ( 積分 )

f(x)を関数とする。

x=a から x=b までの範囲に注目する。

この範囲を n 個の区間に分割する。

区間を分割する各点を x、x、x、・・・、x とする。

ただし、x=a、x=b とする。



ここで、S を次のように定める。



つまり、S は各区間を底辺とする長方形の面積の合計である。



さらに、次のように定義する。



S を 『 点 x=a から x=b までの f の積分値 』 という。

n→∞ とすれば、S の値は x=a、x=b、f(x)で囲まれた領域の面積に近づくであろう。

だから、直観的には、積分は面積と同じである。

しかし、このままではピンとこないかもしれない。

そこで、具体的に関数について積分を求めてみよう。

参考

関数 f(x)を次のように定める。



この関数 f について、x=0 から x=1 までの積分を計算してみよう。

まず、x=0 から x=1 までの範囲を n 個の区間に分割する。



を各長方形の面積の合計とする。

このとき、



よって、



上記の計算は、高校でよく知られた次の計算値と一致する。

参考

関数 f(x)を次のように定める。



この関数 f について、x=a から x=b までの積分を計算してみよう。

まず、x=a から x=b までの範囲を n 個の区間に分割する。



を各長方形の面積の合計とする。

このとき、



よって、



上記の計算は、高校でよく知られた次の計算値と一致する。

参考

上の計算では、無限小区間の 『 左端での f の値 』 を基準に積分を定義した。

つまり、各区間 [ x、xk+1 ] に対し、f(x)の値を長方形の高さとした。

実は、左端ではなくて、[ x、xk+1 ] の任意の点でもよい。

参考

n→∞ として 狽フ極限を積分と定義した。

しかも、この極限は 『 分割点の取り方 』 や 『 分割点の変化のさせ方 』 に依存しない。

ただし、この証明にはεδ論法が必要である。