基礎系(微分とは1次化である)

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参考

微分法の理解には次の視点が重要である。

(*1) 微分を動座標における正比例関数とみなす。

(*2) 変数変換と動座標の関係を、微分形式と多様体によって説明する。

(*3) 微分をεδ論法によって定式化する。

このページでは(*1)について説明する。

一方、現在(2016年)によく見られる微分の説明では dx や dy を微小量として説明することが多い。

しかし、この理解はやや曖昧であり、誤解を生む可能性が大きい。

例えば、「 常微分方程式の変数分離法 」 に対する理解に重大な欠陥が出ることを示す。

定義 ( 動座標 )

y=f(x)を関数とする。

=f(x)とおく。

x=x+X とおく。

y=y+Y とおく。

いま、X は x 成分の x からの変動を意味する。

また、Y は y 成分の y からの変動を意味する。

これは (x、y) を原点とした座標軸 (X、Y) を考えることを意味する。



むろん、この座標軸は (x、y) に対応して定まる。

つまり、他に (x、y) を考えれば、これを原点とする座標軸を考えることができる。

このような動く座標軸を 『 動座標 』 という。

X を dx と表し、Y を dy と表すことが多い。

「 dx や dy は微小量を意味する 」 と誤解する人は多い。

しかし、本来、dx や dy にそのような意味はない。

ただし、むろん、動座標において極限を考えることはある。

そのとき、dx や dy について微小量を考えることはある。

定義 ( 微分係数 )

y=f(x)を関数とする。

=f(x)を初期条件とする。

=f(x)とする。

便宜上、x<x とし、y<y とする。

(△x)=x−x とおく。

(△y)=y−y とおく。

ここで、次のような関数を考える。



ここで、動座標を考えると、



このように、動座標では正比例となる。

これは y=f(x) の近似である。

ここで、新しく (x、y) を考える。

ただし、x<x<x であるとする。

( 例えば、x と x の中点を x として採用すればよい )

(△x)=x−x とおく。

(△y)=y−y とおく。

ここで、次の関数を考える。



(Δx) や (Δx) を十分小とすれば、特殊な関数を除き、(*2)は(*1)よりもよい近似となる。

実際、図示すると、



さらに、x と x の間に点 x をとる。

すると、上記の議論と同様にして、よりよい近似を得ることができる。

同様に、点列 x、x・・・を考える。

つまり、これは x に収束する点列である。

ここで、次の極限を考える。



( よく知られているように、これは x における f の接線と呼ばれる )

この比例定数は x のみに依存して定まる。(※極限の存在と一意性の詳細はεN論法で議論される)

そこで、f’(x)=lim→x(Δy)/(Δx) とおく。

すると、Y=f’(x)X である。

ここまで、x に対応して f’(x) が定まることを説明した。

むろん、x を変化させれば、f’(x) も変化する。

( そのとき、動座標 (X、Y) も変化することに注意 )

そこで、x を変化させて Y=f’(x)X と表す。

( X と Y の表記が変化しないので、これで混乱する人がいるかもしれない )

既に注意したように、X を dx と表し、Y を dy と表す。

よって、dy=f’(x)dx と表してよい。

そこで、f’(x) を dy/dx と表すことにしてみよう。(★)

すると、dy=(dy/dx)dx となって、分数と同じように表示できる。

ただし、この式に現れている2つの dx、2つの dy はそれぞれ区別しなければならない。

この区別ができずに dx や dy を混同して、誤解している人が非常に多いというのが現状である。

(★)について補足

現在(2016年)の高校数学では(★)の記号が最初に登場する。

そのときに、f’(x)=dy/dx=limΔx→0Δy/Δx という書き方をする。

これにより、dx や dy が、本来からして微小量を意味するものであると誤解するのであろう。

また、ネット上で 「 微分 」 の意味を検索すると、このような説明が次々と表示される。

例えば、dy/dx は dx と dy の比を意味するのだとする説明が多く登場する。

この説明は嘘ではない。

ただし、冷静に考えると、この説明は曖昧である。

ゆえに、精密な議論になると疑問が生じる。

その具体例を次に示そう。

参考 ( 合成関数の微分 )

y=f(x)を関数とする。

y’(x)≠0 であるとする。

このとき、x の近傍では、逆関数 x=g(y) を考えることができる。

むろん、その微分係数 g’(y) を dx/dy と表してよい。

少し考えれば分かるように、次が成り立つ。

つまり、dy/dx の表示が通常の分数と同じような法則に従っている。

見事に整合性が取れているのはよいことである。

ただし、『 dy/dx 』 と 『 通常の分数 』 は別物である。

参考 ( 誤差評価 )

dy=f’(x)dx を考える。

y=f(x) と dy=f’(x)dx の誤差をεとする。



すると、



よって、



このとき、ε=o(Δx)と表す。

つまり、o(Δx) は Δx→0 よりも速く 0 に収束する。

つまり、Δy=f’(x)Δx+o(Δx) である。(★1)

とくに、o(Δx) は 『 誤差項 』 と呼ばれる。

むろん、y=y+f’(x)(x−x)+o(x−x)と表すこともできる。(★2)

(★1)や(★2)は 「 Δx→0 とすれば、y=f(x)と y=f’(x)x の誤差をいくらでも小さくできる 」 を意味する。

むろん、これは当然である。

実際、これは(x、y)を通るすべて1次関数について成り立つことである。

ただし、(★1)や(★2)の主張はそれだけではない。

重要なことは、誤差が小さくなるスピードが 「 Δx→0 」 よりも速いということである。

これを 「 y=f’(x)x は y=f(x) の1次近似である 」 という。

つまり、微分は関数の1次化である。

「 微分が近似である 」 という言葉自体はよく言われることである。

ただ、その意味を上記のようにしっかりと理解している人は少ないと思われる。

参考 ( 全微分 )

f(x、x)を2変数関数とする。

を固定して、f を x の関数と見なす。

この場合の f の微分係数を ∂f/∂x と表す。

対応する1次式は Y=(∂f/∂x)X である。

ここで、話を振り出し戻そう。

今度は、x を固定して、f を x の関数と見なす。

この場合の f の微分係数を ∂f/∂x と表す。

対応する1次式は Y=(∂f/∂x)X である。

この2つの加法を考えると、Y=(∂f/∂x)X+(∂f/∂x)X である。

を dx で表し、X を dx で表すと、



これを 『 f の全微分 』 という。

(*)は初歩的な微分積分学の本にもよく登場する。

しかし、動座標という視点をもっていない人が多く、dx や dy を微小量を考える人が多い。

なので、(*)が何を意味するのか理解していない人が多い。

ただし、これを単なる形式的な表記として見なすことが間違いであるという意味ではない。

次のようにおいてみよう。



すると、(*)は、dy=y’(x)dx と表される。

こうして1変数の場合と同じように表記できる。

参考 ( 2変数関数の誤差評価 )

1変数関数について、微分は1次近似であることは述べた。

同様のことが2変数関数についても言える。

ただし、重要な注意事項がある。

まず、次式に注意しよう。

(*1) Δy=(∂f/∂x)Δx+ε

(*2) Δy=(∂f/∂x)Δx+ε

(*3) Δy=(∂f/∂x)Δx+(∂y/∂x)Δx+ε

いま、次が成り立つとする。



( つまり、f(x、x)は x と x に関して偏微分可能であるとする )

このとき、次は成り立つだろうか?



むろん、(*1)から(*2)を結論することはできない。

つまり、(*1)⇒(*2)が成り立つとは限らない。

そこで、(*2)が成り立つとき 「 f(x、x)は全微分可能である 」 という。

ちなみに、明らかに、(*2)⇒(*1)は成り立つ。

というより、(*2)は(*1)を含んでいる。

図示すると、

参考 ( 病理的な関数 )

f(r、θ)=rsinθとおく。

この関数は偏微分可能だが、全微分可能ではない。

この関数 f は、r=0 や θ=0 ではつねに f(r、θ)=0 となる。

一方、「 r>0 かつ θ>0 」 や 「 r<0 かつ θ<0 」 では f>0 である。

また、「 r>0 かつ θ<0 」 や 「 r<0 かつ θ>0 」 では f<0 である。

さらに、原点の近くでは、原点から離れるにつれて、|f|>0 となる。

つまり、r 軸やθ軸だけで1次化すると、その中間の方向で近似しきれない。

実際、f’(0、0)=(0、0)であり、r軸やθ軸だけで考えれば傾きは 0 となる。

( r 軸とθ軸では定値 0 なのだから当然である )

しかし、他の方向から原点に近づいても、f’の値は 0 に近づかない。

参考 ( εδ論法と微分形式へ )

ここまで、微分や全微分は関数の1次化であることを説明した。

ところで、1次化と 『 変数変換 』 の関係はどうなっているのだろうか?

実は、これを簡単に説明することは難しくて、説明には 『 微分形式 』 という考え方が必要になる。

このページでは dx や dy を 『 動座標 』 として説明した。

一方、微分形式では、dx を 『 任意のベクトルに対し、その x 方向成分を取り出す1次関数 』 として考える。

また、上の議論では極限を考える場面がいくつかあった。

その極限を精密に定式化したものがεδ論法である。

動座標、微分形式、εδ論法、これらの概念を理解すると、微分についての理解が深まる。