理工系(全微分の直観的理解)

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P1 ( 合成関数の微分〜その1 )

f(x、y) を2変数実数値関数とする。

Γ(t)を1変数2次元ベクトル値関数とする。( つまり、Γは平面曲線である )

Γ(t)=(x(t)、y(t)) とおく。

f*Γ(t) を、f と Γ の合成関数とする。

このとき、次が成り立つ。

これは 『 合成関数の微分 』 である。

ここでは証明を省略し、この結果を認めることにする。

ただし、上式が成り立つことは直観的にも理解できるであろう。

もしかしたら、

「 本当に上式がつねに成り立つのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

その疑問は正しい。

実際、特殊な形をした関数に対しては、この定理は成り立たない。

簡単に言えば、上式が成り立つのは、関数が滑らかな場合である。

この辺りの詳細の議論は 『 微分積分学 』 で議論される。

ただし、普通に物理学の基本を議論する程度であれば、これが深刻な問題になることはない。

このページでは直観的な理解を優先するので、厳密な理論には立ち入らない。

Γ(t)=(x(t)、y(t)) を図示すると、



一方、z=f(x、y) を図示すると、



よって、f*Γ(t)は、



上のように表すと、f*Γ(t) は立体的に視える。

しかし、冷静に考えると、f*Γ(t) は1変数実数値関数である。

つまり、zt 平面で表すと、



ちなみに、曲線Γと同じ形状のグラフをした曲線であっても、パラメータの取り方によって f*Γ は変化する。

例えば、パラメータ変換 t=t(s) で、α(s)=Γ(t(s)) と表し、パラメータ s は t よりも速いとする。

これを zs 平面で表すと、

P2 ( 合成関数の微分〜その2 )

f(x、y) を2変数関数とする。

x=x(t)、y=y(t) であるとする。

このとき、次が成り立つ。

f(x(t)、y(t)) は f(x、y) を t の関数と見なしたものである。

これはP1(合成関数の微分〜その1)を書き直しただけで、内容は同じである。

P3 ( 全微分 )

f(x、y) を2変数実数値関数とする。

このとき、f の傾きは次のように表される。

ここで、

「 なぜ、これが f の傾きを表していることになるのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

以下、これについて説明しよう。

まず、f(x、y) の 点 P=(x、y) における傾きを調べたいとする。



しかし、f の定義域は2次元である。

よって、f の傾きの方向は無数に考えられる。

そこで、点 P を通る平面直線 e(s)=(x(s)、y(s)) を考える。

ただし、パラメータ s を調節して、|e’(s)|が単位ベクトルとなるようにする。

このように定めなければ、パラメータの速さによって傾きが変化してしまうからである。



いま、f*e(s) は1変数実数値関数である。

よって、f*e(s) について傾きを考えることができる。

実際、



むろん、今回は一方向 e(s) についてのみ考えたものである。

さらに、e(s) の方向を自由に動かしてみよう。

例えば、e(s)=(x(s)、y(s)) の代わりに、L(s)=(X(s)、Y(s)) を考えてみる。

つまり、L は点 P を通るが、e(s) とは異なる方向である。

いま、



このように、色々な方向に対して f の傾きを考えることができる。

これを 『 f の方向微分 』 という。

しかし、方向は無数にあるから、すべての方向について(*1)や(*2)を書き並べることはできない。

そこで、(*1)と(*2)を比較して、重要な情報だけを取り出そう。

すると、∂f/∂x と ∂f/∂y が本質的であることが分かる。

そこで、(*1)や(*2)の象徴として次のように表す。



この(*3)は f の傾きを表していると言えるであろう。

つまり、(*3)単独に意味があるのではない。

実際には、単位速さの直線との合成関数の微分を考えることで、2変数関数の傾きを意味する。

あるいは、(*3)はここまでの議論を象徴的(形式的)に表したものである。

なので、(*3)をどのように解釈するかは、ある程度の自由性がある。

例えば、df は微分を表していると見なすこともできる。

あるいは、df は f の微小変位を表していると見なすこともできる。

なので、ある本では 「 全微分は微小変位だ 」 と言い、ある本では 「 全微分は傾きだ 」 という。

これによって入門者が戸惑うことはあるかもしれない。